next up previous
Next: Naturalny homeomorfizm zbioru Cantora Up: Otwarte problemy pl.sci.matematyki Previous: Podmacierz o największej sumie

Trójkąty o długościach boków i polu powierzchni całkowitych

Jeśli trójkąt ma wierzchołki w punktach kratowych (tzn. w punktach o obu współrzędnych całkowitych) płaszczyzny, to oczywiście jego pole powierzchni jest wielokrotnością 1/2. Jeśli dodatkowo założymy, że ma boki o długościach całkowitych, to wzór Herona powie nam, że jego pole powierzchni również jest liczbą całkowitą.

Załóżmy, że mamy dany trójkąt, którego boki mają długości całkowite i którego pole powierzchni jest liczbą całkowitą. Czy wówczas ten trójkąt jest przystający do pewnego trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych?

Wszystko podpowiada, że tak jest w istocie, lecz nie umiemy tego udowodnić. Mateusz Kwaśnicki proponuje konkurs z symboliczną nagrodą: osobę, która poda i uzasadni odpowiedź na postawione wyżej pytanie, gotów jest zaprosić na ciasto i herbatę.

* * *

Dla boków nie większych niż 1000 hipoteza się potwierdziła.

Co do dowodu wydaje się, że można by było spróbować rozbić na III przypadki:

I) 2 odcinki leżą na prostych wyznaczonych przez punkty kraty II) 1 odcinek leży na prostych wyznaczonych przez punkty kraty III) żaden odcinek nie leży na w/w prostych.

Można pokazać, że istnieją trójki reprezentujące trójkąty z III przypadku, na przykład trójka 5, 29, 30.

Można jednak pokazać (bezpośrednim rachunkiem), że dla każdej trójki boków a, b, c spełniającej warunek całkowitego pola, trójkąt o bokach 2a2, 2ab, 2ac (a więc 2a -krotnie powiększony) można ułożyć na płaszczyźnie tak, by wierzchołki były w punktach kratowych, zaś bok długości 2a2 był poziomy. Stąd już chyba tylko krok do pełnego rozwiązania.

Mateusz Kwaśnicki, Lech Duraj, Jerzy Mil, październik-listopad 2004.

Link do oryginalnej dyskusji: [1]


next up previous
Next: Naturalny homeomorfizm zbioru Cantora Up: Otwarte problemy pl.sci.matematyki Previous: Podmacierz o największej sumie
Pawel Gladki 2006-01-30