Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Większość z nich opiera się na własności samopodobieństwa. Wyróżnia się również pojęcie wymiaru Minkowskiego. Fraktale, o ile dobrze ,,wyczuwalne" intuicyjnie, nie posiadają przejrzystego i jednoznacznego matematycznie określenia. Główne przyczyny takiej sytuacji to:

• istnieniem wielu różnych definicji wymiarów,
• istnieniem różnych typów samopodobieństwa,
• istnieniem fraktali, których nie można opisać rekurencyjną zależnością,
• brakiem precyzyjnego określenia ,,nieregularności".

Poniżej podamy jedynie intuicyjną definicję wymiaru fraktalnego, dla szczególnych klas obiektów i przestrzeni (takich jak przestrzenie metryczne).

Rozpatrzmy dwie figury płaskie (osadzone w p-ni R²), podobne w skali k_p, o polach P₁ i P₂. Można zapisać, że:

$${\frac{{P_1}}{{P_2}}}$$ = k_p²

Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w p-ni R³), podobnych w skali k_v, o objętościach V₁ i V₂. Zapisujemy analogicznie:

$${\frac{{V_1}}{{V_2}}}$$ = k_v³

Określamy liczbę:

d_p = log_kp$${\frac{{P_1}}{{P_2}}}$$ = log_kpk_p² = 2

Liczbę d_p możemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P₁ i P₂. Dla dowolnych figur płaskich wymiar podobieństwa d_p jest zawsze równy 2 (figury osadzone są w p-ni 2 - wymiarowej)

Podobnie dla brył podobnych osadzonych w p-ni R³.

d_v = log_kv$${\frac{{V_1}}{{V_2}}}$$ = log_kvk_v³ = 3

Liczbę d_v możemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V₁ i V₂. Dla dowolnych brył wymiar podobieństwa d_v jest równy 3 (bryły osadzone są w p-ni 3 - wymiarowej.

Pojęcia zdefiniowane powyżej możemy w prosty sposób rozszerzyć na przypadek ogólny przestrzeni n - wymiarowej. W wyniku uzyskujemy nowe, specyficzne, lecz zgodne z intuicją określenie wymiaru.

Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej ,,ile razy większa jest figura wyjściowa od figury podobnej".

Dla przykładu podajmy zbiór Cantora.

Łatwo zauważyć, że jest on podobny do swojej ,,połowy" w skali 3, ale długość tejże ,,połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie takie części). Zatem:

d = log₃2 = 0, 631...

będzie wymiarem fraktalnym zbioru Cantora (zbiór Cantora posiada zerowy wymiar topologiczny)

Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ważną informację - pokazuje w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony.

Przykłady:

1. zbiór Cantora C jest osadzony w przestrzeni 1 - wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 0, 631...
2. dywan Sierpińskiego jest osadzony w p-ni 2 - wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 1, 893...