Wstęp

Algebra to dział matematyki, którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Najogólniej można powiedzieć, że algebra jest nauką o działaniach - działaniem (n-argumentowym) w zbiorze A nazywamy dowolną funkcję f, która układowi n-elementów zbioru A przyporządkowuje element zbioru A. Najstarsze znane egipskie i babilońskie teksty matematyczne dowodzą, że ich autorzy doskonale znali prawa działań na liczbach naturalnych i wymiernych dodatnich, oraz na wielkościach takich, jak długości i pola powierzchni. Teksty dotyczą wyłącznie konkretnych zagadnień, ale nie ulega wątpliwości, że stosowane reguły uważano za ogólne. Pomimo niezwykłej zręczności technicznej w operowaniu równaniami stopnia 1 i 2, nie znajdujemy w nich śladów starań o uzasadnienie użytych twierdzeń, ani nawet ścisłych defnicji stosowanych działań.

Starania takie pojawiają się u Greków. Euklides w "Elementach" dowodzi starannie na przykład przemienności dodawania i mnożenia liczb całkowitych, które uznalibyśmy za "intuicyjnie oczywiste". Rozwój geometrii jako źródła problemów i celu badań matematycznych, kulminujący w dziele aleksandryjskiego uczonego, pozwolił na uściślenie arytmetyki, ale nie towarzyszył mu rozwój technik rachunkowych. Powrót do tradycji "logistyków" (zawodowych rachmistrzów) następuje wraz z upadkiem klasycznej matematyki greckiej i ukazaniem się "Arytmetyki" Diofantosa - do dziś zachowało się 6 z 13 ksiąg tego dzieła (w 1970 roku odkryto w Meszkedzie arabski przekład 7 księgi, ale jej autentyczność budzi wątpliwości). W "Arytmetyce" Diofantos wprowadził oznaczenia potęg (do szóstej włącznie), ich odwrotności (czyli potęgi o wykładnikach -1,-2,...,-6), wyraźnie formułuje (słownie) prawa działań na potęgach, które dla nas wyrażają się wzorem x^{n .} x^m = x^n+m. Mnożył wyrażenia postaci a$\pm$b i sformułował dla nich prawo rozdzielności - w szczególności "prawo znaków", które dziś wyrażamy wzorem (- a) ^. (- b) = ab. Uzupełnił też mnożenie o mnożenie przez 1. (to ważne! u Euklidesa 1 nie było liczbą naturalną!) i sformułował zasadę, nazywaną w szkolnej matematyce "przenoszeniem na drugą stronę ze zmienionym znakiem". Przy rozwiązywaniu równań z wieloma niewiadomymi posługiwał się jednym symbolem niewiadomej, który uczestniczył w działaniach arytmetycznych na równi z liczbami. Nie odmówimy sobie tutaj smutnej refleksji: miarą kultury i poziomu cywilizacyjnego danego kraju jest między innymi to, jakie książki się w nim tłumaczy. Prace Euklidesa i Diofantosa zostały przetłumaczone na prawie wszystkie "cywilizowane" języki świata - oczywiście oprócz języka polskiego... (jedyne polskie edycje "Elementów" to dwa wydania tłumaczeń Józefa Czecha ksiąg 1-6 oraz 11-12 - obydwa z XIX wieku - oraz późniejszy reprint z lat sześćdziesiątych XX wieku).

W następnych wiekach próbowano stworzyć system znakowania algebraicznego przystosowanego do wyrażania abstrakcyjnych praw oraz rozszerzyć pojęcie "liczby" - chodziło o "liczby", o których Grecy nie mieli pojęcia i dla których żadne konkretne "przedstawienie" (tak jak przedstawienie geometryczne u Euklidesa) nie było potrzebne: a więc z jednej strony zero i liczby ujemne (matematyka hinduska wczesnego średniowiecza) a z drugiej liczby urojone (matematyka włoska w XVI wieku).

Zero najpierw wprowadzone zostało jako symbol systemu numeracji, po raz pierwszy w ostatnich dwu wiekach przed naszą erą w tekstach babilońskich. Pojawia się też w matematyce Majów w pierwszych wiekach naszej ery i w matematyce indyjskiej w tym samym czasie. Pojmowanie zera jako liczby i jego wprowadzenie do rachunków to wynalazek Hindusów z VII - VIII wieku naszej ery. Nowe "liczby" pojawiają się najpierw jako rezultaty działań zastosowanych w warunkach, w których, o ile chodzi tylko o ścisłą ich definicję, nie mają one żadnego sensu - stąd nazwy liczb "fałszywych", "fikcyjnych", "absurdalnych", "niemożliwych" itp. Dopiero w następnym kroku zaczyna się szukać interpretacji nowych tworów, które w ten sposób znajdują swoje miejsce w matematyce.

W tym okresie Hindusi już dobrze wiedzą, jak interpretować liczby ujemne (np. jako długi w zagadnieniu handlowym). Gdy matematyka grecka i indyjska trafia - poprzez świat arabski - na Zachód, pojawiają się też inne "przedstawienia" - o charakterze geometrycznym lub kinematycznym. Z tych czasów wywodzi się też dzieło Al-Chorezmiego "Al-Kitab al-muchatasar fi hisab al-dżabr wa-al-muhabala" ("Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie"), przetłumaczona w XII wieku na łacinę jako "Liber de algebra et almucabala" - z tytułu tej książki algebra wzięła swoją nazwę. Warto tu wspomnieć przy okazji o innych ważnych książkach z tego okresu: dziełach Brahmagupty (VII wiek), Bhaskary (XII wiek), Lewi ben Gersona (początek XIII wieku), wreszcie o "Liber abaci" Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim i o pracach Nemorariusa.

Algebra przeżywa okres rozkwitu na początku XVI wieku dzięki matematykom szkoły włoskiej, którzy odkryli rozwiązania przez pierwiastniki równań stopnia 3 i 4 (Cardano i Ferrari około roku 1545). Przy tej okazji do matematyki wkraczają liczby urojone - początkowo nie bez oratorskich zastrzeżeń ich odkrywców. Koniec XVI wieku to także zdecydowane udoskonalenie zapisu algebraicznego, który od czasów Kartezjusza jest już praktycznie taki sam, jak używany obecnie. Skomplikowany słowny opis operacji algebraicznych został zastąpiony przez symbole matematyczne: dodawania "+" i odejmowania "-" (Widmann, "Behende und hupsch Rechnung", 1489), symbol pierwiastka V^ma (Rudolff, "Coss", 1525), przekształcony przez Kartezjusza na $\sqrt[m]{{a}}$, symbol równości "=" (Recorde, "The Whetstone of Witte", 1557), znaki mnożenia "×" (Oughtred, "Clavis mathematicae", 1631) oraz " ^. " (Leibniz, 1689), symbole nierówności "<" i ">" (Harriot, 1631) i symbol potęg (de la Roche, 1520 - przyjęty powszechnie dopiero za czasów Kartezjusza). Viéte w 1591 zaczął stosować symbole literowe zarówno dla oznaczania zmiennych, jak i danych wielkości. Viéte oznaczał liczby dużymi literami A, B, C,... - małe litery wprowadził do algebry Harriot. Kartezjusz ("La geometrie", 1637) wprowadził rozróżnienie: ostatnie litery alfabetu x, y, z,... oznaczają niewiadome, zaś pierwsze a, b, c,... wielkości znane.

Okres od połowy XVII wieku do końca XVIII to czas rozkwitu "rachunku nieskończonościowego" oraz nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni - zapewne te dwa zagadnienia przyczyniły się do częściowego zaniechania matematycznych rozważań nad działaniami jako takimi. Wyjątek stanowi tu Leibniz i jego próby algebraizacji logiki formalnej oraz stworzenia "rachunku geometrycznego" operującego elementami geometrycznymi bez posługiwania się współrzędnymi.

Na początku XVII wieku Kartezjusz stworzył geometrię analityczną. Wszelako składanie sił i prędkości nie wywołało żadnego oddźwięku w algebrze, w której mieścił się już zalążek rachunku wektorowego. W owym okresie główne wysiłki koncentrowały się wokół teorii równań oraz numerycznych i graficznych metod ich rozwiązywania. W 1707 ukazała się drukiem "Arithmetica universalis sive de compositione et resolutione arithmetica liber" Newtona. Wyłożona tam algebra pozostawała w ścisłym związku z rozwojem metod numerycznych; omówiono w niej też sposoby rozwiązywania równań algebraicznych. W 1748 ukazał się "A Treatise of Algebra" Maclaurina, będący w zasadzie komentarzem do książki Newtona. Maclaurin uzupełnił wiele dowodów, których brak było u Newtona. Duży wpływ na rozwój algebry w drugiej połowie XVIII wieku wywarło, podyktowane około 1767 roku przez tracącego wzrok Eulera, dwutomowe dzieło "Vollstandige Anleitung zur Algebra" ("Pełny wstęp do algebry") - przy tej okazji wspomnieć trzeba też o "Meditationes algebraicae" Waringa z 1770 roku, o "Theorie generale des equations algebriques" Bezout z 1779 oraz o "Reflexions sur la resolution algebrique des equations" Lagrange'a z 1770-71 roku. Ten ostatni dokonał krytycznego przeglądu wszystkich istniejących dotąd sposobów rozwiązywania równań stopni 2,3,4, by wyjaśnić, dlaczego nie działają od stopnia 5 wzwyż oraz aby znaleźć ogólne metody rozwiązywania równań wszystkich stopni. Inne dzieło Lagrange'a, "Traite de la resolution des equations numeriques de tous les degres" z 1808 roku było poświęcone usystematyzowaniu wszystkich dotychczas znanych metod numerycznych rozwiązywania równań. Pojawiła się w nim też nowa metoda, polegająca na wyznaczaniu przybliżonych pierwiastków poprzez ich rozwijanie na ułamki łańcuchowe.

Około 1800 roku zinterpretowano geometrycznie liczby zespolone i dodawanie wektorów weszło do czystej matematyki. Pojawiły się dwie różne rodziny działań na obiektach innych niż liczby. Po pierwsze w pracach Gaussa nad formami kwadratowymi pojawia się składanie klas równoważności form kwadratowych (zdefiniowanej jeszcze przez Lagrange'a) i zauważona zostaje podobieństwo między arytmetyką tych klas a mnożeniem liczb całkowitych modulo liczba pierwsza - jest to już bardzo daleka analogia do "liczb". Po drugie, w wyniku rozwinięcia idei Lagrange'a, Vandermonde'a i Gaussa dotyczących "teorii podstawień", a także Ruffiniego i Cauchy'ego, dochodzi do sformalizowania pojęcia grupy - początkowo jako grupy permutacji zbioru skończonego. Dopiero jednak sprowadzenie przez Ewarysta Galois badania równań algebraicznych do badania grup przyporządkowanych im podstawień inicjuje rozwój nowej teorii - zaczyna być badana i definiowana przechodniość, pierwotność, element neutralny, elementy permutowalne, wreszcie Galois definiuje pojęcie podgrupy normalnej.

Prace Gaussa i Galois nie miały jednak znacznego wpływu na rozwój algebry abstrakcyjnej - genialne odkrycia Galois pozostawały nieznane aż do roku 1846. Postępy na drodze do abstrakcji dokonują się głównie na trzeciej drodze, w wyniku rozmyślań nad naturą liczb urojonych, głównie za pośrednictwem matematyków szkoły angielskiej z lat 1830 - 1840: Boole zajmuje się algebrą logiki, Hamilton wektorami, kwaternionami i liczbami hiperzespolonymi, Cayley macierzami i działaniami niełącznymi. Algebra znowu przeżywa rozkwit: Möbius i Bellavitis rozwijają rachunek wektorowy, a Grassmann - algebrę liniową i systemy hiperzespolone.

Omówione trzy nurty - uogólnienia "liczb" uzyskane na drodze badań form kwadratowych przez Gaussa, "teoria podstawień" wyrosła na gruncie prac Lagrange'a, Vandermonde'a i Gaussa, która doprowadziła do sprecyzowania pojęcia grupy i rozważania o naturze liczb urojonych, wiodące ku sformalizowaniu pojęcia działania - wyznaczają kierunki rozwoju algebry aż do schyłku XIX wieku bez żadnych znaczniejszych wzajemnych wpływów.

Szkoła niemiecka (Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind, Hilbert) wywodzi z dzieła Gaussa teorię liczb algebraicznych. Pojawia się pojęcie ciała, Dedekind i Weber tworzą teorię funkcji algebraicznych, Dedekind wprowadza pojęcie ideału, wraz z Kroneckerem powiększa rolę, jaką w matematyce odgrywają grupy abelowe i moduły.

Teoria grup rozwija się najpierw głównie pod postacią grup skończonych jako rezultat ogłoszenia dzieł Galois (Serret, "Cours d'algebre superieure", 1846) oraz słynnego "Traite des Substitutions" Jordana z 1870 roku. W tym ostatnim streszczone są dotychczasowe osiągnięcia na polu teorii grup permutacji, przy czym części rezultatów nie poprawiono do dziś, badane są szczególnie ważne rodzaje grup, tj. grupy liniowe, wprowadzone jest pojęcie reprezentacji grupy i grupy ilorazowej, a także udowodniona połowa twierdzenia, znanego dziś jako twierdznie Jordana-Höldera. Znaleźć można tam też pierwsze badania grup nieskończonych, rozwinięte następnie przez Kleina, Poincarego oraz Liego.

Cayley podaje w 1854 roku definicję grupy abstrakcyjnej. Około 1880 roku świadomie zaczyna się rozwijać autonomiczna teoria grup sończonych, dotychczas traktowanych jako grupy permutacji. Wśród matematyków angielskich rozwija się też algebra liniowa - "A memoir on the Theory of Matrices" (1858) Cayleya zaiwra podstawy algebry liniowej w postaci przyjętej do dziś, Dodgson (autor "Alicji w krainie czarów" występujący pod pseudonimem Lewis Carroll) dowodzi twierdzenia Kroneckera-Capellego, publikują też Sylvester i Clifford. Pracę tę kontynuują w Ameryce Peirce'owie, Dickson i Wedderburn w kierunku wskazanym przez Hamiltona i Cayleya, w Niemczech - Weierstrass, Dedekind, Frobenius i Molien, częściowo na bazie wcześniejszych prac Grassmanna ("Ausdehnungslehre", 1844), we Francji - Laguerre i Cartan.

W tym też czasie zaczyna się rozwijać geometria algebraiczna i - ściśle z nią związana - teoria niezmienników, zapoczątkowana przez Sylvestera. Obie te teorie kroczą według własnych metod, nastawionych zarówno na analizę jak i algebrę, a swe miejsce w ogromnym gmachu algebry znajdą dopiero w drugiej połowie XX wieku.

Charakterystyczną cechą algebry końca XIX wieku jest wtargnięcie pojęcia grupy (i innych mu pokrewnych) do części algebry, które dotąd wydawały się dość oddalone od ich właściwej dziedziny. Prowadzi to nieuchronnie do syntezy omówionych wyżej trzech tendencji - jest to głównie zasługa szkoły niemieckiej i prac nad aksjomatyzacją algebry zapoczątkowanych przez Dedekinda i Hilberta, a następnie kontynuowanych przez Steinitza i - później - przez Artina, Noether i ich uczniów: Hassego, Krulla, Schreiera, van der Waerdena. Znaczenie aksjomatycznego ujęcia algebry uwidoczniło się w pracy Grassmanna "Formenlehre" (1872). Aksjomatyczne definicje grupy, ciała, moduły i ideału podali: Cayley (1878), Frobenius i Stickelberger (1879), Dedekind (1871), Weber (1893). W 1889 Peano zaksjomatyzował arytmetykę - jeszcze później Hilbert w "Grundlagen der Geometrie" (1899) próbował poprawić geometrię Euklidesa. Zyskał na ścisłości, lecz kosztem wprowadzenia wielu aksjomatów. Na początku XX wieku Huntington, Dickson i Veblen przeanalizowali dotychczas stosowane układy aksjomatów dla grup, ciał, pierścieni, przestrzeni liniowych, algebr linowych i podstaw geometrii i zaproponowali nowe, stosowane do dziś. Pierwsze dwie dekady ostatniego stulecia to intensywny rozwój teorii pierścieni i ciał, głównie dzięki takim matematykom jak Artin i Noether. Rozwiązanie przez Artina słynnego 17 problemu Hilberta w 1926 roku uważa się za początek nowoczesnej algebry. Burzliwe przemiany spowodowała monografia van der Waerdena "Moderne Algebra" (tomy 1-2, lata 1930-31) przedstawiająca dorobek algebraików szkoły niemieckiej XX wieku i szkół francuskich, angielskich i amerykańskich końca XIX wieku, będący dziś uważany za standard wykształcenia algebraicznego na poziomie magisterskim. Od jej ukazania się zaczęto stosować termin "algebra współczesna" w odróżnieniu od "algebry klasycznej" - teorii równań w najogólniejszym tego słowa znaczeniu. Dziś granicę między algebrą klasyczną i współczesną wyznacza właśnie praca van der Waerdena, jednak tematy w niej zawarte uważane są za klasyczne. Większość współczesnych matematyków (lub prawie współczesnych...) zawęża zakres algebry - na przykład Ore w 1931 roku pisał: "Algebra ma do czynienia z formalnymi kombinacjami symboli, stosownie do przyjętych reguł", zaś MacLane w 1939: "Algebra dąży do badania explicite struktury aksjomatycznie zdefiniowanych systemów, zamkniętych względem jednej lub wielu operacji wymiernych". Oczywiście nie musimy pisać, że dzieło van der Waerdena zostało przetłumaczone na wszystkie cywilizowane języki świata poza językiem polskim...

Kolejnym ważnym etapem w rozwoju algebry było ukazanie się cyklu "algebraicznego" w ramach "Elementów matematyki" Bourbakiego w latach 1946-55 (oczywiście przetłumaczonego na wszystkie cywilizowane języki świata poza...) Teorie: grup, pierścieni i ciał osiągnęły jakościowo nowy poziom. Żywiołowy rozwój algebry trwający nieprzerwanie od lat czterdziestych po dzień dzisiejszy zaowocował mnogością nowych dyscyplin algebraicznych, których nawet pobieżne przedstawienie znacznie wykracza poza ramy tego artykułu oraz wieloma spektakularnymi rozstrzygnięciami starych i trudnych problemów, np. sklasyfikowaniem skończonych grup prostych (zespół badawczy Gorensteina, lata osiemdziesiąte), udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata (Wiles, 1993-95), rozwikłanie zagadnienia czterech barw (Appel i Haken, 1976). Niebagatelny wpływ na rozwój algebry miało narodzenie się komputerów: renesans przeżywa kombinatoryka, która ulega ciągłej algebraizacji. Powstają nowe, obszerne działy nauki, korzeniami tkwiące głeboko w algebrze, jak teoria kodowania, w szczególności teoria kodów korygujących błędy, kryptografia, algebraiczna teoria automatów, teoria złożoności algorytmów itp. Teoria krat i jej uogólnienia znajdują zastosowania nie tylko w samej matematyce (logika, geometria, probabilistyka, teoria miary), ale i poza nią (ekonomia, socjologia, muzykologia). Klasyczne są już zastosowania algebry w fizyce (np. teoria reprezentacji grup) czy też algebry liniowej w ekonomii (teoria przepływów Leontieffa, zagadnienia minimaksowe) i w wielu innych dziedzinach.

Algebra ma ważne zastosowania w topologii. Grupy homotopii, homologii, kohomologii (i wiele innych) definiowane dla przestrzeni topologicznych (lokalnie łukowo spójnych) są przykładem algebraizacji matematyki. Z postaci tych grup wnioskuje się o własnościach przestrzeni topologicznych, z których zostały utworzone. Topologia algebraiczna, bo o niej mowa, przyczyniła się do powstania ogromnego, samodzielnego działu algebry: algebry homologicznej, mającej z kolei zastosowania w wielu działach matematyki, między innymi w algebrze, teorii liczb, analizie, topologii. Zjawiska tego typu mają formalny opis w teorii kategorii - są przykładami pojęcia funktora. Bez teorii kategorii nie da się wysłowić podstawowych pojęć nowoczesnej geometrii algebraicznej, rozwijającej się burzliwie od Grothendiecka po medal Fieldsa dla Vladimira Voevodsky'ego w 2002. Dziesiejszy stosunek geometrii algebraicznej do algebry przypomina stosunek geometrii z czasów Euklidesa do reszty matematyki: jest ona głównym źródłem ważnych problemów, pojęć i metod, oraz głównym polem zastosowań.

Można śmiało powiedzieć, że w świecie matematyki algebra jest obecnie największym i naszybciej rozwijającym się kontynentem.