Inne często spotykane schematy kombinatoryczne

1. Obliczyć liczbę jednomianów n zmiennych x₁, x₂,..., x_n stopnia d. Jednomian stopnia d jest iloczynem d czynników. Kolejność czynników w iloczynie jest nieistotna, więc można przyjąć, że zmienne w iloczynie występują w naturalnym porządku. Wstawmy do ciągu czynników iloczynu n - 1 dodatkowych wyrazów - przegródek: między ostatnim x₁ a pierwszym x₂, między ostatnim x₂ a pierwszym x₃, itd. Teraz można wszystkie zmienne zastąpić jedną zmienną x - przegródki pozwalają odtworzyć jednomian: każdy x przed pierwszą przegródką trzeba zastąpić przez x₁, każdy x między pierwszą a drugą przegródką - przez x₂, itd. Zatem jednomianów jest tyle samo, co ciągów złożonych z d liter x i n - 1 przegródek. Ale takich ciągów jest tyle, ile podzbiorów d-elementowych (miejsc na x - y) zbioru (n - 1 + d )-elementowego (numerów wyrazów ciągu). Zatem szukaną liczbą jest
   $$\binom{n+d-1}{d}$$

2. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego na zbiór k-elementowy. Liczbę elementów tego zbioru oznaczamy symbolem S(n, k). Liczby S(n, k) nazywamy liczbami Stirlinga drugiego rodzaju. Można je obliczać za pomocą funkcji tworzącej
   $$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$S(n, k)$${\frac{{x^n}}{{n!}}}$$ = $${\frac{{(e^x - 1)^k}}{{n}}}$$
   lub rekurencyjnie:

   S(n, n) = 1 dla n $$\geq$$ 0,    S(n, 0) = 0 dla n > 0,

   S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + kS(n - 1, k).

3. Liczba relacji równoważności w zbiorze n-elementowym, mających k klas abstrakcji jest równa S(n, k). Liczba rozbić zbioru n-elementowego na k podzbiorów (parami rozłącznych) jest równa S(n, k). Liczba wszystkich relacji równoważności w zbiorze n-elementowym (i wszystkich rozbić zbioru n-elementowego) jest równa
   B(n) = $$\sum_{{k=0}}^{n}$$S(n, k).
   Liczby B(n) nazywamy liczbami Bella. Liczby Bella można obliczać rekurencyjnie:
   B(n + 1) = $$\sum_{{k=0}}^{n}$$$$\binom{n}{k}$$B(k)