Jak udowodnić wzór Herona?

Niech dany będzie trójkąt o bokach a, b, c i niech p oznacza połowę obwodu tego trójkąta: p = ${\frac{{a + b + c}}{{2}}}$. Udowodnimy wzór Herona na pole powierzchni trójkąta:

S = $$\sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$.

Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta między bokami b i c i niech h będzie wysokością opuszczoną na bok c. Wówczas:

h = b sin$$\alpha$$

i wobec tego wzór na pole S trójkąta wyrazi się wzorem:

S = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ch = $${\frac{{1}}{{2}}}$$bc sin$$\alpha$$.

Wykorzystamy ten wzór. Najpierw występujący w nim sin$\alpha$ wyrazimy przez długości boków (korzystamy tu z twierdzenia kosinusów):

$$\alpha \alpha {\frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}}$$ =

$${\frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}} {\frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}}$$ =

$${\frac{{2bc + b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}} {\frac{{2bc - b^2 - c^2 + a^2}}{{2bc}}}$$ =

$${\frac{{(b+c)^2 - a^2}}{{2bc}}} {\frac{{a^2 - (b-c)^2}}{{2bc}}}$$ =

$${\frac{{(b+c+a)(b+c-a)}}{{2bc}}} {\frac{{(a+b-c)(a-b+c)}}{{2bc}}}$$ =

Ponieważ p oznacza połowę obwodu, więc a + b + c = 2p a stąd:

a + b - c	=	2p - 2c = 2(p - c)
a - b + c	=	2p - 2b = 2(p - b)
- a + b + c	=	2p - 2a = 2(p - a)

i tym samym wzór na kwadrat sinusa przepisze się jako:

$$\alpha {\frac{{2p2(p-a)}}{{2bc}}} {\frac{{2(p-c)2(p-b)}}{{2bc}}}$$ =

$${\frac{{4}}{{b^2 c^2}}}$$ =

i ostatecznie:

sin$$\alpha$$ = $${\frac{{2}}{{bc}}}$$$$\sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

skąd dostajemy wzór Herona.