Tematy rozmowy kwalifikacyjnej

Rekrutacja na I rok studiów doktoranckich
w zakresie matematyki w roku akademickim 2014/15
Tematy rozmowy kwalifikacyjnej

1. Analiza matematyczna

Aksjomatyka i konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych.
Granice ekstremalne ciągu liczbowego i funkcji rzeczywistej w punkcie.
Odwzorowania ciągłe i ich własności; jednostajna ciągłość i warunek
Lipschitza; ciągłość a zwartość; ciągłość a spójność; własność Darboux.
         Funkcje monotoniczne i wypukłe.
Podstawowe funkcje w dziedzinie rzeczywistej.
Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej:
        a) interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej;
        b) działania na funkcjach a pochodna;
        c) twierdzenia o wartości średniej; wzór Taylora i jego
zastosowania;
        d) ekstrema.
Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i bezwarunkowa.
Mnożenie szeregów. Zbieżność punktowa, jednostajna i niemal jednostajna
ciągów i szeregów funkcyjnych.   Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów
funkcyjnych.
Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu
funkcyjnego. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora i pojęcie funkcji
analitycznej.
Rozwinięcia Taylora podstawowych funkcji elementarnych.
Rachunek całkowy funkcji zmiennej rzeczywistej:
        a) całka nieoznaczona i całkowanie elementarne;
        b) całka oznaczona;
        c) całki niewłaściwe;
        d) całkowe krytetium zbieżności szeregów:
        e) zastosowania geometryczne i fizyczne całki.
Elementy geometrii różniczkowej.
         a) prosta styczna i normalna do krzywej;
         b) krzywizna;
         c) równania naturalne krzywych.
Rachunek różniczkowy (odwzorowania z R^k w Rⁿ):
         a) pochodna i jej sens geometryczny.
         b) pochodne kierunkowe, cząstkowe i różniczkowalność funkcji;
         c) macierz Jacobiego, jakobian i gradient:
         d) działania na odwzorowaniach a pochodne;
         e) pochodne wyższych rzędów:
          f) twierdzenie o wartości średniej; wzór Taylora;
          g) zastosowanie do badania ekstremów lokalnych;
          h) twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności
odwzorowań i twierdzenie o rzędzie;
          i) lokalne ekstrema warunkowe.

Miara i całka Lebesgue'a w R^k:
          a) własności miary Lebesgue'a;
          b) funkcje mierzalne;
          c) całka względem miary;
          d) twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki;
          e) twierdzenie Fubiniego;
          f) twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie;
          g) całki krzywoliniowe i powierzchniowe.
          h) formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa.

Analiza zespolona. Funkcje holomorficzne i całkowite. Pochodna. Równania Cauchy'ego-Riemanna.
Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej.
Całka funkcji wzdłuż drogi; własności. Indeks punktu względem krzywej;
twierdzenie Cauchy'ego i wzór całkowy Cauchy'ego. Zera funkcji
holomorficznej. Twierdzenie
o identyczności. Twierdzenie Morery. Nierówności Cauchy'ego. Twierdzenie
Liouville'a. Zasada maksimum i lemat Schwarza. Twierdzenie Weierstrassa o
ciągach
funkcji holomorficznych. Szeregi Laurenta. Klasyfikacja punktów
osobliwych. Twierdzenie Riemanna i twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa.
Bieguny. Twierdzenie o
residuach. Zasada argumentu. Twierdzenia Rouchégo i Hurwitza. Otwartość
odwzorowania holomorficznego.

Analiza funkcjonalna.    Przestrzenie unormowane. Przestrzenie Banacha. Klasyczne ciągowe i
funkcyjne przestrzenie Banacha. Nierówności Höldera i Minkowskiego.
   Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Przestrzenie unormowane skończenie
wymiarowe. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Przestrzenie unitarne.
   Przestrzenie Hilberta. Uzupełnianie przestrzeni unitarnych. Nierówność
Schwarza.Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
   Twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału liniowego. Ortogonalizacja i
ortonormalizacja układu wektorów. Układy ortogonalne i ortonormalne. Układy
ortonormalne
   zupełne. Szereg Fouriera. Nierówność Bessela. Tożsamość Parsevala.
Twierdzenie Riesza - Fischera. Układ trygonometryczny (postać rzeczywista i
zespolona).
   Szereg Fouriera względem układu trygonometrycznego.Układ Rademachera.

2. Równania różniczkowe

Równania różniczkowe zwyczajne. Wiadomości wstępne: pojęcie
równania, rozwiązania, ich rodzaje, zagadnienia początkowe,
interpretacja geometryczna. Klasy równań elementarnie całkowalnych;
równania o zmiennych rozdzielonych, zupełne i do nich
sprowadzalne, równania liniowe o stałych współczynnikach.
Podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych rzędu
pierwszego i równań wyższych rzędów. Twierdzenie o ciągłej i
gładkiej zależności rozwiązań od wartości początkowych i
parametrów. Podstawowe własności rozwiązań układów równań
różniczkowych liniowych I rzędu. Przestrzeń liniowa rozwiązań
układu jednorodnego, jej wymiar, baza - układ fundamentalny,
macierz fundamentalna, twierdzenie Liouville'a. Postać rozwiązania
ogólnego układu niejednorodnego. Własności rozwiązań równań
liniowych rzędu n-tego. Układy równań liniowych o stałych
współczynnikach i sposoby ich rozwiązywania.
Wyznaczenie układu fundamentalnego, macierzy fundamentalnej i
rozwiązania ogólnego układu niejednorodnego. Stabilność rozwiązań
równania różniczkowego w sensie Lapunowa i kryteria stabilności.
Informacja o zagadnieniach brzegowych dla równań rzędu drugiego.
Równania różniczkowe cząstkowe. Wiadomości wstępne, klasyfikacja
równań różniczkowych cząstkowych. Podstawowe zagadnienia;
początkowe, brzegowe i mieszane. Pojęcie zagadnienia
postawionego poprawnie. Równania cząstkowe rzędu pierwszego i ich
związek z równaniami zwyczajnymi, całki pierwsze.

3. Algebra

Przestrzenie wektorowe, baza, wymiar, współrzędne.
Przekształcenia liniowe, macierze, wyznaczniki.
Układy równań liniowych. Wartości i wektory własne.
Podobieństwo macierzy i postaci kanoniczne macierzy endomorfizmu przestrzeni
wektorowej.

Przekształcenia dwuliniowe symetryczne, formy
kwadratowe i ich macierze, macierze kongruentne.
Przestrzeń euklidesowa i podstawowe pojęcia geometrii euklidesowej.
Przekształcenia ortogonalne i sprzężone.
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.
Grupa izometrii płaszczyzny, grupa podobieństw.
Geometrie nieeuklidesowe.

Grupy i ich homomorfizmy, dzielniki normalne, grupy ilorazowe.
Grupy przekształceń, grupy symetryczne, twierdzenie Cayley'a.
Grupy cykliczne, abelowe, rozwiązalne, proste.
Struktura grup abelowych skończenie generowanych.

Pierścienie przemienne. Homomorfizmy pierścieni. Ideały i pierścienie
ilorazowe. Ideały maksymalne i pierwsze.
Dzielniki zera. Elementy odwracalne. Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
Teoria podzielności w pierścieniach bez dzielników zera.

Ciało proste. Charakterystyka ciała. Ciało algebraicznie domknięte,
zasadnicze twierdzenie algebry. Pierwiastki z jedności.
Ciała skończone.
Wielomiany symetryczne wielu zmiennych. Ciało liczb algebraicznych.
Rozszerzenia algebraiczne ciał. Ciało liczb konstruowalnych,
konstrukcje geometryczne.

Elementy teorii liczb. Własności pierścienia reszt Z/mZ.
Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych ciała liczb
wymiernych.

Elementy algebraiczne względem ciała i elementy całkowite względem
pierścienia.
Ciało rozkładu wielomianu.
Automorfizmy ciała. Teoria Galois skończonych rozszerzeń ciał.
Zbiory algebraiczne. Moduły nad pierścieniami.

4. Topologia i Podstawy Matematyki

Logika zdań i kwantyfikatorów. Algebra zbiorów. Relacje i funkcje. Zbiory
uporządkowane. Liczby naturalne, aksjomaty Peano. Równoliczność zbiorów.
Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy continuum, twierdzenie
Cantora-Bernsteina i twierdzenie Cantora. Pojęcie dowodu i
konsekwencji logicznej. Modele pierwszego rzędu i twierdzenia o pełności.
Niesprzeczność teorii. Funkcje i relacje rekurencyjne. Pewnik wyboru. Lemat
Kuratowskiego-Zorna.

Przestrzenie topologiczne i przestrzenie metryczne: podstawowe przykłady
(przestrzenie euklidesowe, przestrzenie funkcyjne), zbieżność ciągów,
wnętrze i domknięcie zbioru, zbiory borelowskie. Przekształcenia ciągłe,
homeomorfizmy, izometrie. Przestrzenie zupełne:
ciągi Cauchy'ego, twierdzenie Cantora, twierdzenie Baire'a o kategorii.
Przestrzenie metryczne zwarte: zupełność przestrzeni zwartych, twierdzenie
Borela-Lebesgue'a o pokryciach przestrzeni zwartej, zbiór Cantora. Iloczyny
kartezjańskie przestrzeni metrycznych (metryka w iloczynie kartezjańskim).
Spójność, obszary w przestrzeniach euklidesowych, kontinua.Pojęcie
przestrzeni topologicznej i przekształcenia ciągłego. Twierdzenia
metryzacyjne (twierdzenie Binga-Nagaty-Smirnowa). Iloczyn kartezjański
dowolnej rodziny przestrzeni topologicznych. Zwarte przestrzenie Hausdorffa
i twierdzenie Tichonowa o produkcie. Przestrzenie normalne: lemat Urysohna,
twierdzenie Tietzego-Urysohna o przedłużaniu funkcji ciągłych. Przestrzenie
ośrodkowe, własność Lindelöfa.

Homotopia przekształceń, homotopijna równoważność, grupa podstawowa.

5. Rachunek prawdopodobieństwa

Przestrzeń prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo warunkowe,
wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa, schematy
urnowe.

Niezależność zdarzeń, niezależność sigma-ciał, przestrzenie
produktowe jako przestrzenie probabilistyczne dla serii
doświadczeń niezależnych, schemat Bernoulliego.

Zmienne losowe i ich rozkłady. Podstawowe rozkłady:
Bernoulliego, Poissona, jednostajny, normalny, wykładniczy, gamma.
Zmienne losowe jedno- i wielowymiarowe, dystrybuanta, wyznaczenie
miary przez dystrybuantę, rozkłady dyskretne, rozkłady ciągłe,
niezależność zmiennych losowych.

Wartość oczekiwana i inne parametry rozkładu zmiennej losowej
(wariancja, macierz kowariancji). Nierówność Czebyszewa i
Kołmogorowa.

Rodzaje zbieżności w teorii prawdopodobieństwa, związki między
nimi. Funkcje charakterystyczne i ich związek ze zbieżnością
ciągów zmiennych losowych. Funkcje tworzące, proces gałązkowy.

Słabe i mocne prawo wielkich. Prawo zera i jedności Borela i
Kołmogorowa.

Centralne twierdzenia graniczne i jego interpretacja.

Dyskretne łańcuchy Markowa, klasyfikacja stanów. Twierdzenie
ergodyczne dla łańcuchów Markowa. Własności błądzenia po kracie w
zalezności od wymiaru przestrzeni.

Pojęcie procesu stochastycznego. Twierdzenie Kołmogorowa o
zgodnych miarach. Procesy Poissona i Wienera i ich podstawowe
własności. Pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej
losowej względem sigma algebry i pojęcie (pod i nad) martyngału.

Informacja o elementach wnioskowania statystycznego:
zagadnienia estymacji, testowanie hipotez.

6. Informatyka

Algorytmy i struktury danych. Pojęcie algorytmu, dziedzina
algorytmiczna, zapis algorytmu. Przykłady algorytmów: algorytmy
teorioliczbowe, algorytmy sortowania. Algorytmy rekurencyjne,
metoda ,dziel i zwyciężaj". Ocena algorytmów: poprawność
semantyczna, problem stopu, złożoność czasowa i pamięciowa, klasy
złożoności algorytmów. Twierdzenie o rekursji uniwersalnej.
Przykłady problemów NP-zupełnych. Podstawowe algorytmy grafowe.
Minimalne drzewa rozpinajace. Najkrótsze ścieżki, maksymalny
przepływ. Wyszukiwanie wzorca.

Abstrakcyjne struktury danych (stosy, kolejki FIFO, kolejki
priorytetowe, drzewa binarnych poszukiwań), metody ich
reprezentacji i zastosowania. Bazy danych. Podstawowe pojęcia
relacyjnych baz danych. Operacje na relacjach. Indeksowanie.
Klucze. Normalizacja. Więzy integralności.
Język SQL. Kwerendy wybierające. Funkcje agregujące. Kwerendy
funkcjonalne. Raporty. Transakcje. Diagramy związków encji.

Programowanie. Typy danych. Zmienne lokalne, globalne,
automatyczna, dynamiczne. Instrukcje przypisania, warunkowe,
iteracyjne. Funkcje i procedury. Nagłówki. Przekazywanie do
funkcji parametrów aktualnych. Ochrona parametrów aktualnych.
Klasy i obiekty. Paradygmaty programowania obiektowego.
Konstrukcja i usuwanie obiektów. Komunikacja z bazami danych w
języku programowania. Tworzenie usług i serwerów sieciowych w
różnych językach programowania.

Systemy operacyjne. Charakterystyki systemów operacyjnych
(systemy wsadowe, interaktywne, czasu rzeczywistego) Funkcje
systemowe. Architektura i struktura systemu operacyjnego.
Wielozadaniowość i wielodostęp. Zarządzanie procesami (planowanie,
synchronizacja, zakleszczenia). Komunikacja międzyprocesowa.
Zarządzanie pamięcią operacyjną i dyskową (fragmentacja,
segmentacja, stronicowanie, pamięć wirtualna). Systemy plików.
Obsługa urządzeń wejścia-wyjścia. Współczesne koncepcje budowy
systemów operacyjnych.

Sieci komputerowe. Modele warstwowe protokołów sieciowych. Sprzęt
sieciowy (koncentratory, przełączniki, mosty, rutery, bramy itp.).
Techniki sieci komputerowych (Ethernet, TokenRing, ATM). Media
komunikacyjne i ich współdzielenie. Przykłady protokołów
internetowych (ARP, IP, TCP, UDP, FTP, Telnet, HTTP).

Metody reprezentowania wiedzy: logika predykatów 1-go rzędu,
reguły, sieci semantyczne, zbiory rozmyte. Metody wnioskowania w
w/w reprezentacjach wiedzy. Sieci neuronowe: perceptron
wielowarstwowy i reguła jego uczenia (propagacji wstecznej błędu),
sieć Kohonena i reguła współzawodnictwa. Algorytmy ewolucyjne:
prosty algorytm i jego składowe, operatory mutacji, krzyżowania,
strategie ewolucyjne, metody kodowania. Definicja algorytmu
rozpoznawania, optymalna klasyfikacja bayesowska, empiryczne
klasyfikatory Bayesa parametryczne i nieparametryczne. Algorytmy
grupowania: podziały ostre i rozmyte, miary podobieństwa, algorytm
k-średnich, algorytm hierarchiczny.