\documentclass[a4paper,11pt, fleqn, reqno, oneside]{report}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}% polska czcionka
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{indentfirst}
\usepackage[hmargin=2.5cm, vmargin=2.5cm, hcentering]{geometry}
\usepackage{setspace} %Pakiet do lokalnej zmiany interlinii
\usepackage{enumerate} %Pakiet do robienia niestandardowych list.
\usepackage{ulem} %Pakiet do tekstu z kropkami pod nim
\usepackage{xcolor}
%dodatkowe operatory matematyczne
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} %funkcja signum
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert #1\right\Vert} %norma \norm{x}=||x||
\newcommand{\ilsk}[2]{\left\langle #1 , #2\right\rangle} %iloczyn skalarny \ilsk{x}{y}=<x,y>

%definicje różnych oznaczeń zbiorów
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %zb. liczb rzeczywistych
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %zb. liczb naturalnych
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %zb. liczb zespolonych
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %zb. liczb całkowitych
\newcommand{\K}{\mathbb{K}} %oznaczenie na ciało K
\newcommand{\CB}{\mathcal{B}} %oznaczenie na B pisane, np w przestrzeni zbiorów ograniczonych lub sigma ciałach borelowskich

%style potrzebne dla zmiany domyślnych styli twierdzeń i definicji
\newtheoremstyle{crr1}% styl dla twierdzeń
  {\topsep}% Space above, empty = `usual value'
  {\topsep}% Space below
  {\itshape}% Body font - czcionka pochylona
  {0pt}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bfseries}% Thm head font
  {.}% Punctuation after thm head
  { }% Space after thm head: \newline = linebreak or " "
  {\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ (\textit{#3})}}% Thm head spec

\newtheoremstyle{crr2}% styl dla definicji
  {\topsep}% Space above, empty = `usual value'
  {\topsep}% Space below
  {\normalfont}% Body font - czcionka normalna
  {0pt}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bfseries}% Thm head font
  {.}% Punctuation after thm head
  { }% Space after thm head: \newline = linebreak or " "
  {\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ (\textit{#3})}}% Thm head spec
%definicja różnych matematycznych środowisk
\theoremstyle{crr1}
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{lem}[tw]{Lemat}
\newtheorem{wn}[tw]{Wniosek}
\theoremstyle{crr2}
\newtheorem{df}[tw]{Definicja} %chapter - numeracja wg rozdziału, section - wg "sekcji"
\newtheorem{prz}[tw]{Przykład} %Dodanie [df] sprawia, że przykłady i definicje będą miały wspólną numerację
\newtheorem{uw}[tw]{Uwaga}
%definiowanie środowiska dla dowodu
\newenvironment{dwd}{\noindent{\bf Dowód:}\rm }{\hfill\qed\par}
% potrzebne gdy wyświetla się "Spis rzeczy" zamiast "Spis treści" i "Literatura" zamiast "Bibliografia"
\addto\captionspolish{\renewcommand{\contentsname}{Spis treści}}
\addto\captionspolish{\renewcommand{\bibname}{Bibliografia}}
%-----------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\setlength{\mathindent}{20pt}% wcięcie wzorów matematycznych
\begin{titlepage}
\begin{center}
{\LARGE Uniwersytet Śląski w Katowicach}
\vskip 1cm
{\LARGE  Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii}
\vskip 1cm
{\LARGE  Instytut Matematyki}
\vskip 3cm
{\Large \bf Imię i nazwisko}% wstaw swoje dane
\vskip 1cm
{\large Numer albumu 012345}% numer albumu
\vskip 2.5cm
\begin{doublespace}
{\huge \bf RÓWNANIA FUNKCYJNE ORAZ ICH STABILNOŚĆ}% tytuł pracy
\end{doublespace}
\vskip 2.5cm
{\large PRACA DYPLOMOWA\\LICENCJACKA (lub MAGISTERSKA/INŻYNIERSKA)}
\end{center}
\vspace{3.0cm}
\begin{flushright}
\parbox{4.5cm}{Promotor: \\
Dr Radosław Łukasik}
\end{flushright}
\vspace{3cm}
\begin{center}
Katowice 2019% rok
\end{center}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent
Słowa kluczowe: \dotuline{równanie Cauchy'ego, Jensena, stabilność\hfill}\\% wstaw swoje słowa kluczowe max 2 linijki
\par \dotuline{\hfill}\\[1cm]
\textbf{Oświadczenie autora pracy}\\[1cm]
Ja niżej podpisany/a:\\
\par imię (imiona) i nazwisko \dotuline{Jan Kowalski\hfill}\\% wstaw swoje dane
\par autor pracy dyplomowej pt. \dotuline{Klasyczne równania funkcyjne\hfill}\\% wstaw swój tytuł
\par\dotuline{\hfill}\\%
\par\dotuline{\hfill}\\% razem 3 linie na tytuł jeśli jest ich więcej usuń

\noindent Numer albumu: 012345\\% wstaw numer albumu

\noindent Student/ka Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach\\

\noindent kierunku studiów\\
\dotuline{Matematyka\hfill}\newline

\noindent specjalności\\
\dotuline{Matematyka nauczycielska\hfill}\\% wstaw swoją specjalność

\noindent Oświadczam, że ww. praca dyplomowa:
\begin{itemize}
\item
została przygotowana przeze mnie samodzielnie\footnote{uwzględniając merytoryczny wkład promotora (w ramach prowadzonego seminarium dyplomowego)},
\item
nie narusza praw autorskich w rozumieniu ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (tekst jednolity Dz. U. z 2006 r. Nr 90, poz. 631, z późn. zm.) oraz dóbr osobistych chronionych prawem cywilnym,
\item
nie zawiera danych i informacji, które uzyskałem/-am w sposób niedozwolony,
\item
nie była podstawą nadania dyplomu uczelni wyższej lub tytułu zawodowego ani mnie, ani innej osobie.
\end{itemize}
\vskip 1cm
Oświadczam również, że treść pracy dyplomowej zamieszczonej przeze mnie w Archiwum Prac Dyplomowych jest identyczna z treścią zawartą w wydrukowanej wersji pracy.\\[1cm]
\textbf{Jestem świadomy/a odpowiedzialności karnej za złożenie fałszywego oświadczenia.}\\[1cm]% lub Jestem świadomy
\parbox{6cm}{\dotfill\center{Data}}\hfill\parbox{6cm}{\dotfill\center{Podpis autora pracy}}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{1}
\tableofcontents %wyświetlanie spisu treści

\chapter*{Wstęp}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Wstęp}
We wstępie opiszemy z grubsza co robimy w tej pracy.

\chapter{Pierwszy rozdział}
\begin{df}
\label{def1.1}
Funkcję $f \colon \R^N \to \mathbb{R} $ nazywamy addytywną
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ona równanie Cauchy'ego, to znaczy
\begin{equation}%jednolinijkowy wzór z numerem
\label{eq1.1}
f(x+y)=f(x)+f(y),\ x,y\in\R^N.
\end{equation}
\end{df}
Do równania \eqref{eq1.1} się tutaj odwołamy (\ref{eq1.1}). Jest to równanie z definicji \ref{def1.1}

\begin{lem}
Jeżeli $f \colon \R^N \to \R$ jest addytywna to:
\begin{equation*}%jednolinijkowy wzór bez numeru
f(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i})=\sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i})
\end{equation*}
dla każdego $n \in \N$ i dla wszystkich $x_1,x_2,...,x_n \in\N^N$.
\end{lem}
\begin{dwd}
Zauważmy, że
\begin{align*}%wielolinjkowe obliczenia/wzory bez numeracji
f(\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i)= f(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i + x_{n+1})= f(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i) + f(x_{n+1}) 
= \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i) +f(x_{n+1}) = \sum \limits_{i=1}^{n+1} f(x_i)
\end{align*}
\end{dwd}

\begin{lem}
Jeżeli %$f_{1} \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ i 
$f_1,f_2 \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$
są funkcjami addytywnymi, to dla wszystkich $a,b\in\mathbb{R}$ funkcja
$f=af_{1}+bf_{2}$ jest addytywna.
\end{lem}
\begin{dwd}
Ustalmy $x,y \in \R^N$.
Wówczas
\begin{align*}
f(x+y) &=af_1(x+y) + bf_2(x+y)%= \\
=a\Big( f_1(x) +f_1(y)\Big) + b\Big(f_2(x)+f_2(y)\Big) \\
&=af_1(x) + bf_2(x) +af_1(y) + bf_2(y) 
 = f(x)+f(y).
\end{align*}
\end{dwd}

\chapter{Rozdział drugi}

Rozważmy równania funkcyjne:
\begin{eqnarray}%zamiast align
E(x+y)&=& E(x) \cdot E(y) \label{eq:20a} \\ %E
L(xy)&=& L(x) + L(y) \label{eq:20b} \\ %L
M(xy)&=& M(x) \cdot M(y) \label{eq:20c} % M
\end{eqnarray}
znane jako warianty równania Cauchy'ego.\\
Będziemy je odpowiednio nazywać: wykładnicze, logarytmiczne i multiplikatywne.

\section{Równanie wykładnicze}
Coś piszemy w podrozdziale.

\section{Równanie logarytmiczne}
\begin{uw} 
Rozwiązania tego równania można znaleźć w \cite{Kuczma2009}. Pewne uogólnienia znajdują się za to w pracy R. Łukasika (patrz~\cite[Theorem 2]{Lukasik2014}).
\end{uw}

Rozpatrzmy następujący wykres funkcji (lepiej robić w zewnętrznym programie w formacie eps):\\
\setlength{\unitlength}{0.1mm}%definicja jednostki
\begin{picture}(1000,500)
\linethickness{1mm}%grubość linii
\put(100,100){\textcolor{red}{\line(1,1){300}}}
\linethickness{0.5mm}
\linethickness{0.1mm}\put(0,250){\vector(1,0){1000}}
\linethickness{0.1mm}\put(500,0){\vector(0,1){500}}
\thicklines
\put(25,25){\textcolor{blue}{\circle{30}}}
\put(500,250){\textcolor{green}{\circle*{30}}}
\put(950,200){\mbox{$t$}}
\put(520,450){\mbox{$f(t)$}}
\qbezier(500,250)(550,400)(1000,500)
\end{picture}

$$\ilsk{x}{x}=\norm{x}^2$$
$$n^2 \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \infty$$
%bibliografia
\begin{thebibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia} %dodajemy ją do spisu treści
\bibitem{AD1989}
J. Acz{\'e}l, J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, Cambridge (1989).
\bibitem{Kannappan}
Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009 \\
\bibitem{Kuczma2009}
M. Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
\bibitem{Lukasik2014}
Radosław Łukasik, Some generalization of the quadratic and Wilson’s functional equation, \textit{Aequat. Math.} \textbf{87} (2014), 105--123.

\end{thebibliography}
\end{document}
