Przykład 1.
Pod działaniem pewnych sił ciało porusza się ruchem prostoliniowym i przebywa w czasie t sekund drogę s metrów, gdzie s jest określone wzorem s(t)= -9t +24t+30, t € < 0; 5 >.
Odpowiedz na pytania :
a) Jaką prędkość ma ciało w chwili t = 1,5 s ?
b) Czy ciało zmienia kierunek ruchu ?
c) W jakich momentach ruchu ciało ma prędkość równą 0 ?
Analiza rozwiązania:
Ponieważ prędkość ciała jest pochodną drogi względem czasu, czyli
v(t) = s'(t),
a zatem wykres pochodnej funkcji s(t) pozwoli odpowiedzieć na powyższe pytania.
Kreślimy wykresy funkcji y = s(t) i y = s'(t) i analizujemy je.
Czy zauważasz, że wykres pochodnej dwukrotnie przecina oś odciętych ? To znaczy, że prędkość ciała ma wówczas wartość 0.
Dla jakiego t tak się dzieje ?
Co to oznacza dla ruchu ciała ?
To znaczy,że ciało dwukrotnie zmienia kierunek (a raczej zwrot) ruchu ( czyli zawraca o 180 °).
Popatrz uważnie na wykres; czy zauważasz, co dzieje się z drogą ciała w chwili t = 2 s, a potem w chwili t = 4 s ?
Świetnie, odczytujemy, że w tych samych chwilach droga osiąga wartości ekstremalne.
W chwili t = 2 s oddalenie ciała od punktu startu jest maksymalne, ciało zatrzymuje się i zaczyna cofać, czyli odległość od punktu startu maleje.
A co zauważasz w chwili t = 4 s ?
Odpowiedź:
Niestety, nasz wykres jest zbyt mało dokładny, aby móc odpowiedzieć na pytanie a).
Chodzi przecież o odczytanie prędkości ciała w chwili t = 1,5 s.
Jak rozwiązać ten problem ?
Możemy, posługując się innym programem (np. arkuszem kalkulacyjnym Excel) obliczyć wartość pochodnej funkcji s(t) dla t = 1,5 s. Prędkość zmian będzie w danej chwili tym bliższa rzeczywistej prędkości im przyrost czasu będzie mniejszy.
Możemy również odczytać wartość pochodnej w danym punkcie bezpośrednio z wykresu (można wziąć odpowiednie powiększenie interesującej nas części wykresu).
Odczytaj więc z wykresu lub tabeli prędkość ciała w chwili t = 1,5 s.
Przykład 2.
Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością v(t)= 2/(1 + t) metrów na sekundę, gdzie t € < 0, 9 >.
Znajdź jego przyspieszenie w chwili t1 = 2 sekundy oraz t2 = 8 sekund.
Dla jakiej wartości t przyspieszenie ciała jest największe ?
Analiza zadania i rozwiązanie:
Wiesz, że przyspieszenie to pochodna prędkości względem czasu, czyli a(t) = v'(t). Z wykresu funkcji prędkości danej wzorem y = v(t)
możesz odczytać, że prędkość zmniejsza się liczbowo z upływem czasu, ale coraz wolniej.
Natomiast z wykresu funkcji y = v'(t) wnioskujemy, że przyspieszenie jest ujemne w każdej chwili tego ruchu, ale z upływem czasu liczbowo zwiększa się, chociaż coraz wolniej.
Największą wartość osiąga w chwili t = 9 s.
Przyspieszenie chwilowe możesz obliczyć jako wartość pochodnej prędkości dla danego t,(również jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji v(t) w punktach (t1, v(t1)) i (t2, v(t2)).
Z wykresów można odczytać przybliżone wartości dla t = 2 i t = 8.
Odpowiedź:
W chwili t = 2 s przyspieszenie jest równe w przybliżeniu - 0,222 m/s2, natomiast w chwili t = 8 s ma w przybliżeniu -0,025 m/s2.
Z wykresu funkcji prędkości danej wzorem
