Popatrzmy na wykresy funkcji pod kątem monotoniczności. Obserwujmy znak pochodnej.
Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym dodatnim jest
rosnąca. Jej pochodna jest dodatnia.
Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym ujemnym jest
malejąca.Jej pochodna jest ujemna.
Możesz zauważyć, że w tych przedziałach, w których funkcja liniowa jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia, zaś w tych, w których jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.
Prześledźmy teraz monotoniczność funkcji kwadratowej.
W przypadku dodatniego współczynnika przy x2
parabola jest zwrócona ramionami w górę.
Wóczas
dla argumentów mniejszych od odciętej wierzchołka funkcja jest malejąca,
dla argumentów większych od odciętej wierzchołka funkcja jest rosnąca,
zaś w przypadku ujemnego współczynnika przy x2
parabola zwrócona jest ramionami w dół i
na lewo od odciętej wierzchołka funkcja jest rosnąca,
na prawo malejąca.
To nie jest skomplikowane.
Żeby określić przedziały monotoniczności, wystarczy podać (odczytać z wykresu lub obliczyć, gdy np. nie masz wykresu lub chcesz liczyć) odciętą wierzchołka.
Pamiętasz ?
Ten rachunek nie jest skomplikowany, ale ...
Skoro pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją liniową, to może wystarczyłoby powiedzieć coś o tej funkcji liniowej ?
Oczywiście, wystarczy odczytać z wykresu (lub obliczyć, jeżeli chcesz) miejsce zerowe pochodnej, a potem ustalić przedziały monotoniczności.
Wniosek.
Funkcja kwadratowa określona wzorem y = ax2 + bx + c, a € R \ {0}, jest
rosnąca dla x<-b/2a i malejąca dla x>-b/2a, gdy a<0,
malejąca dla x<-b/2a i rosnąca dla x>-b/2a, gdy a>0.
Możesz również zauważyć, że w tych przedziałach, w których funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia, zaś w tych, w których funkcja jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.
Prawdziwe jest twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej).
Prawdziwe są również
twierdzenie 3 i twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.
To już jest coś więcej niż to, co wiedzieliśmy wcześniej.
W przypadku wielomianu stopnia trzeciego sytuacja trochę się komplikuje.
Wiesz już, że pochodna wielomianu stopnia trzeciego jest wielomianem stopnia drugiego. Wiesz też, że o monotoniczności funkcji decyduje znak jej pochodnej. Pozostaje znów zająć się znakiem funkcji kwadratowej.
Popatrz na wykresy
Pierwsza funkcja jest
Jej pochodna przyjmuje wartości nieujemne (jest dodatnia i zeruje się w jednym punkcie). Druga funkcja jest
Jej pochodna przyjmuje wartości niedodatnie (jest ujemna i zeruje się w jednym punkcie). Wniosek.
Zerowanie się pochodnej w jednym punkcie (nawet w nieskończenie wielu) nie wpływa na monotoniczność.
Popatrzmy jeszcze na monotoniczność funkcji wymiernej y= 1/x.
Funkcja jest
w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale
W przypadku funkcji y = -1/x widzimy, że
funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale
Znów mamy okazję zaobserwować twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej). Potwierdza się również
Funkcja f(x) = 1/x jest malejąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale ujemna.
Funkcja f(x) = - 1/x jest rosnąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale dodatnia.
Prawdziwe jest twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej).
Prawdziwe są również
twierdzenie 3 i twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.
To już jest coś więcej niż to, co wiedzieliśmy wcześniej. twierdzenie 3 i
twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.