Popatrzmy na wykresy funkcji pod kątem monotoniczności. Obserwujmy znak pochodnej.


Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym dodatnim jest rosnąca. Jej pochodna jest dodatnia.






Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym ujemnym jest malejąca.Jej pochodna jest ujemna.




Możesz zauważyć, że
w tych przedziałach, w których funkcja liniowa jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia, zaś w tych, w których jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.

Prześledźmy teraz monotoniczność funkcji kwadratowej.
W przypadku dodatniego współczynnika przy x2

parabola jest zwrócona ramionami w górę. Wóczas
  • dla argumentów mniejszych od odciętej wierzchołka funkcja jest malejąca,
  • dla argumentów większych od odciętej wierzchołka funkcja jest rosnąca,


    zaś w przypadku ujemnego współczynnika przy x2

    parabola zwrócona jest ramionami w dół i
  • na lewo od odciętej wierzchołka funkcja jest rosnąca,
  • na prawo malejąca.



    To nie jest skomplikowane.
    Żeby określić przedziały monotoniczności, wystarczy podać (odczytać z wykresu lub obliczyć, gdy np. nie masz wykresu lub chcesz liczyć) odciętą wierzchołka.
    Pamiętasz ?
    Ten rachunek nie jest skomplikowany, ale ...
    Skoro pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją liniową, to może wystarczyłoby powiedzieć coś o tej funkcji liniowej ?
    Oczywiście, wystarczy odczytać z wykresu (lub obliczyć, jeżeli chcesz) miejsce zerowe pochodnej, a potem ustalić przedziały monotoniczności.

    Wniosek.
    Funkcja kwadratowa określona wzorem y = ax2 + bx + c, a € R \ {0}, jest
  • rosnąca dla x<-b/2a i malejąca dla x>-b/2a, gdy a<0,
  • malejąca dla x<-b/2a i rosnąca dla x>-b/2a, gdy a>0.

    Możesz również zauważyć, że w tych przedziałach, w których funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia, zaś w tych, w których funkcja jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.
    Prawdziwe jest twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej).
    Prawdziwe są również twierdzenie 3 i twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.
    To już jest coś więcej niż to, co wiedzieliśmy wcześniej.
    W przypadku wielomianu stopnia trzeciego sytuacja trochę się komplikuje.
    Wiesz już, że pochodna wielomianu stopnia trzeciego jest wielomianem stopnia drugiego. Wiesz też, że o monotoniczności funkcji decyduje znak jej pochodnej. Pozostaje znów zająć się znakiem funkcji kwadratowej.

    Popatrz na wykresy

       

    Pierwsza funkcja jest
    Jej pochodna przyjmuje wartości nieujemne (jest dodatnia i zeruje się w jednym punkcie). Druga funkcja jest
    Jej pochodna przyjmuje wartości niedodatnie (jest ujemna i zeruje się w jednym punkcie).
    Wniosek.
    Zerowanie się pochodnej w jednym punkcie (nawet w nieskończenie wielu) nie wpływa na monotoniczność.

       

    Popatrzmy jeszcze na monotoniczność funkcji wymiernej y= 1/x.

    Funkcja jest
    w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale


    W przypadku funkcji y = -1/x widzimy, że

    funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale




    Znów mamy okazję zaobserwować twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej).
    Potwierdza się również Funkcja f(x) = 1/x jest malejąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale ujemna.

    Funkcja f(x) = - 1/x jest rosnąca w każdym z przedziałów, w których jest określona, a jej pochodna jest stale dodatnia.
    Prawdziwe jest twierdzenie 1 i twierdzenie 2 o znaku pochodnej funkcji rosnącej (malejącej).
    Prawdziwe są również twierdzenie 3 i twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.
    To już jest coś więcej niż to, co wiedzieliśmy wcześniej.
    twierdzenie 3 i twierdzenie 4 o monotoniczności funkcji w zależności od znaku pochodnej.