Metoda współczynników nieoznaczonych

Metoda współczynników nieoznaczonych stosuje się do obliczania całek postaci:

$$\int$$$${\frac{{W_n(x)}}{{\sqrt{ax^2 + bx + c}}}}$$dx,

gdzie W_n(x) jest wielomianem stopnie n, jest to więc jeszcze jedna metoda pozwalająca obliczać całki z funkcji zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego. Gdybyśmy chcieli zamieścić tę metodę w poprzednim rozdziale, jego tytuł za bardzo by się wydłużył i strona z FAQ źle by się wyświetlała, dlatego zdecydowaliśmy się opisać ją w osobnym artykule :)

Całka powyższa równa się wyrażeniu:

W_n-1(x)$$\sqrt{{ax^2 + bx + c}}$$ + A$$\int$$$${\frac{{dx}}{{\sqrt{ax^2 + bx + c}}}}$$,

gdzie W_n-1(x) jest wielomianem stopnia n - 1, a A pewną stałą. Współczynniki wielomianu W_n-1(x) oraz stałą A obliczamy przyrównując

$${\frac{{W_n(x)}}{{\sqrt{ax^2 + bx + c}}}}$$,

czyli pochodną funkcji będącej obliczaną całką do pochodnej powyższego wyrażenia.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{6x^3 - 22x^2 + 21x - 7}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$$dx.

Przewidujemy, że całka nasza będzie równa wyrażeniu następującej postaci:

(ax² + bx + c)$$\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$$ + A$$\int$$$${\frac{{dx}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$$.

Aby obliczyć współczynniki a, b, c, A różniczkujemy powyższe wyrażenie i przyrównujemy do funkcji podcałkowej:

$${\frac{{6x^3 - 22x^2 + 21x - 7}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$$ = (2ax + b)$$\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$$ + (ax² + bx + c)$${\frac{{2x-4}}{{2\sqrt{x^2-4x+3}}}}$$ + $${\frac{{A}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$$.

Mnożymy obie strony tożsamości przez $\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$:

6x³ -22x² +21x - 7 = (2ax + b)(x² -4x + 3) + (ax² + bx + c)(x - 2) + A

i obliczamy współczynniki porównując wyrażenia przy kolejnych potęgach zmiennej x.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$(3x - 2)$$\sqrt{{x^2 - 2x}}$$dx.

W tym przypadku funkcję podcałkową mnożymy i dzielimy przez $\sqrt{{x^2 - 2x}}$ otrzymując:

$$\int$$$${\frac{{(3x-2)(x^2-2x)}}{{\sqrt{x^2 - 2x}}}}$$dx

i dalej postępujemy podobnie, jak w poprzednim przykładzie.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$$${\frac{{dx}}{{(x-\alpha)^n \sqrt{ax^2 + bx + c}}}}$$.

W tym przypadku stosujemy podstawienie u = ${\frac{{1}}{{x - \alpha}}}$ i otrzymujemy całkę postaci:

$$\int$$$${\frac{{u^{n-1} du}}{{\sqrt{\beta u^2 + \gamma u + \delta}}}}$$

i dalej postępujemy zgodnie z opisaną metodą.

Ćwiczenia:

1. $\int$${\frac{{x^3 dx}}{{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$(x² +5x + 24)$\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$ +11ln| x - 2 + $\sqrt{{x^2 - 4x + 3}}$| + C
2. $\int$${\frac{{3x^2 + 2}}{{\sqrt{x^2 + x + 1}}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{8}}}$(8x² -10x - 1)$\sqrt{{x^2 + x + 1}}$ + ${\frac{{53}}{{16}}}$ln| x + ${\frac{{1}}{{2}}}$ + $\sqrt{{x^2 + x + 1}}$| + C
3. $\int$x²$\sqrt{{4x - x^2}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{12}}}$(3x³ -2x² -10x - 60)$\sqrt{{4x - x^2}}$ +10arcsin${\frac{{1}}{{2}}}$(x - 2) + C
4. $\int$x$\sqrt{{6 + x - x^2}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{24}}}$(8x² -2x - 51)$\sqrt{{6 + x - x^2}}$ - ${\frac{{25}}{{16}}}$arcsin${\frac{{1}}{{5}}}$(1 - 2x) + C
5. $\int$${\frac{{x^4 dx}}{{\sqrt{5x^2 + 4}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{100}}}$(5x³ -6x)$\sqrt{{5x^2 + 5}}$ + ${\frac{{6}}{{125}}}$$\sqrt{{5}}$ln| x$\sqrt{{5}}$ + $\sqrt{{5x^2 + 4}}$| + C