Podstawowe własności całek. Całkowanie przez podstawienie i przez części.

Twierdzenie: Całka sumy równa się sumie całek, tzn.

$$\int$$(f (x) + g(x))dx = $$\int$$f (x)dx + $$\int$$g(x)dx.

Stały czynnik wolno wynieść przed znak całki, tzn.

$$\int$$kf (x)dx = k$$\int$$f (x)dx, k $$\neq$$ 0.

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie): Jeżeli dla a $\leq$ x $\leq$ b funkcja g(x) = u jest ciągła i ma ciągłą pochodną oraz A $\leq$ g(x) $\leq$ B, zaś funkcja f (u) jest ciągła w przedziale [A, B], to:

$$\int$$f (g(x))g'(x)dx = $$\int$$f (u)du,

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić u = g(x).

Twierdzenie (o całkowaniu przez części): Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągła pochodną, to:

$$\int$$u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - $$\int$$u'(x)v(x)dx.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$25x⁷ +49e^x + $${\frac{{16}}{{17}}}$$sinxdx.

Zgodnie z twierdzeniem o sumie całek i o całce pomnożonej przez skalar mamy:

$$\int {\frac{{16}}{{17}}} \int \int {\frac{{16}}{{17}}} \int$$

$${\frac{{25}}{{8}}} {\frac{{16}}{{17}}}$$ =

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$tgxdx.

Skorzystamy z tożsamości tgx = ${\frac{{sin x}}{{cos x}}}$. Zatem obliczamy $\int$${\frac{{sin x}}{{cos x}}}$ stosując podstawienie

u = cosx.

Stąd różniczkując otrzymujemy

du = - sinxdx,

a zatem:

$$\int$$$${\frac{{sin x }}{{cos x}}}$$dx = - $$\int$$$${\frac{{1}}{{u}}}$$du = - ln| u| + C = - ln| cosx| + C.

Przykład: Obliczyć całkę:

$$\int$$xsinxdx.

Całkujemy przez części przyjmując

u(x) = x, v'(x) = sinx skąd u'(x) = 1, v(x) = $\int$sinxdx = - cosx.

Otrzymujemy:

$$\int$$xsinxdx = - xcosx - $$\int$$(- cosx)dx = - xcosx + $$\int$$cosxdx = - xcosx + sinx + C.

Ćwiczenia z zastosowaniem twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie:

1. $\int$${\frac{{(x^2 - 1)^3}}{{x}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{6}}}$x⁶ - ${\frac{{3}}{{4}}}$x⁴ + ${\frac{{3}}{{2}}}$x² - ln| x| + C
2. $\int$${\frac{{x dx}}{{1 + x^2}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{2}}}$ln(1 + x²) + C
3. $\int$${\frac{{x dx}}{{(x^2 + 3)^6}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{-1}}{{10(x^2 + 3)^5}}}$ + C
4. $\int$${\frac{{x dx}}{{\sqrt[3]{2x^2 - 1}}}}$ Odpowiedź: ${\frac{{3}}{{8}}}$(2x² -1)^2/3 + C o ile x $\neq$ ${\frac{{1}}{{2}}}$$\sqrt{{2}}$, x $\neq$ - ${\frac{{1}}{{2}}}$$\sqrt{{2}}$
5. $\int$xe^-x2dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{2}}}$e^-x2 + C
6. $\int$xsin(2x² + 1)dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{4}}}$cos(2x² + 1) + C
7. $\int$${\frac{{cos(x)}}{{\sqrt{1 + sin(x)}}}}$dx Odpowiedź: 2$\sqrt{{1 + sin(x)}}$ + C
8. $\int$${\frac{{(\ln x)^2}}{{x}}}$dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{3}}}$ln³x + C o ile x > 0
9. $\int$x ln(1 + x²)dx Odpowiedź: ${\frac{{1}}{{2}}}$(1 + x²)ln(1 + x²) - ${\frac{{1}}{{2}}}$x² + C
10. $\int$${\frac{{\ln \vert arctg(x)\vert dx}}{{1 + x^2}}}$ Odpowiedź: arctg(x)(ln| arctg(x)| - 1) + C

Dodatkowe ćwiczenia

Ćwiczenia z zastosowaniem twierdzenia o całkowaniu przez części:

1. $\int$xe^3xdx Odpowiedź: ${\frac{{x e^{3x}}}{{9}}}$ - ${\frac{{e^{3x}}}{{9}}}$ + C
2. $\int$xsin(5x)dx Odpowiedź: - ${\frac{{x}}{{5}}}$cos(5x) + ${\frac{{1}}{{25}}}$sin(5x) + C
3. x²ln(x)dx Odpowiedź: ${\frac{{x^3 \ln x}}{{3}}}$ - ${\frac{{x^3}}{{9}}}$ + C
4. x²e^-5xdx Odpowiedź: - ${\frac{{x^2 e^{-5x}}}{{5}}}$ - ${\frac{{2x e^{-5x}}}{{25}}}$ - ${\frac{{2e^{-5x}}}{{125}}}$ + C
5. x²cos(3x)dx Odpowiedź: ${\frac{{x^3}}{{3}}}$sin(3x) + ${\frac{{2x}}{{9}}}$cos(3x) - ${\frac{{2}}{{27}}}$sin(3x) + C
6. (x² +2x + 1)e^7xdx Odpowiedź: ${\frac{{e^{7x}(49 x^2 + 84 x + 37)}}{{343}}}$ + C
7. $\int$arctg(x)dx Odpowiedź: xarctg(x) - ${\frac{{1}}{{2}}}$ln| 1 + x²| + C
8. $\int$sin⁵(x)dx Odpowiedź: - ${\frac{{1}}{{5}}}$cos(x)sin⁴(x) - ${\frac{{4}}{{15}}}$sin²(x)cos(x) - ${\frac{{8}}{{15}}}$cos(x) + C
9. $\int$x²arcctg(x)dx Odpowiedź: ${\frac{{x^3}}{{3}}}$arcctg(x) + ${\frac{{x^2}}{{6}}}$ - ${\frac{{\ln\vert x^2 + 1\vert}}{{6}}}$ + C
10. $\int$e^9xcos(2x)dx Odpowiedź: e^9x(${\frac{{9 cos(2x)}}{{85}}}$ + ${\frac{{2 sin(2x)}}{{85}}}$) + C

Dodatkowe ćwiczenia