Naturalny homeomorfizm zbioru Cantora i hiperprzestrzeni jego zwartych podzbiorów

Niech C = 0, 1^N będzie przestrzenią Cantora, czyli przeliczalnym produktem zbioru 0,1 z naturalną topologią produktową, naturalną produktową miarą probabilistyczną i naturalnym działaniem grupowym pochodzącym od produktu Z₂.

Rozważamy hiperprzestrzeń K(C) złożoną ze zwartych podzbiorów przestrzeni C. W K(C) wprowadzamy topologię Vietorisa (jest to topologia zadawana np. przez metrykę Hausdorffa).

Wiadomo, że przestrzeń K(C) jest homeomorficzna z C. Wynika stąd, że w K(C) można wprowadzić niejedną ładną miarę borelowską. Pytanie, czy da się to zrobić w naturalny sposób tak, by definicja korzystała jakoś ze struktury hiperprzestrzeni, a nie była sztucznie przenoszona z C? Ja jeszcze (z pewnych przyczyn) chciałbym zobaczyć taką miarę skoncentrowaną na zbiorze doskonałych podzbiorów C.

Analogiczne pytanie można sformułować dla struktury grupowej.

Oczywiście wszystko rozbija się o wskazanie jakiegoś ładnego, kanonicznego homeomorfizmu między C a K(C). Ja takiego nie znam, homeomorfizmy z charakteryzacji Brouwera przestrzeni C nie wydają się tu być na miejscu.

* * *

Włodkowi Holsztyńskiemu wydaje się, że może warto iść w tym kierunku:

C = ({0}×C) $$\cup$$ ({1}×C))

W związku z tym:

K(C) = K({0}×C) $$\cup$$ K({1}×C) $$\cup$$ ((K({0}×C)×K({1}×C)) = K₀ $$\cup$$ K₁ $$\cup$$ (K(C))²

* * *

Dopuśćmy w K(C) zbiór pusty (jako punkt izolowany). Wtedy mamy ładniejsza równość

K(C) = K(C)²

(bo zbiór F utożsamiamy z < F $\cap$ ({0}×C), F $\cap$ ({1}×C) >. Ale z tego widać tylko eleganckie utożsamienie K(C) z K(C)ⁿ, czy K(C)^$\omega$. Wiele przestrzeni ma tę własność...

Może jeszcze napiszmy, jaka jest motywacja:

Fakt 1. (folklor, ale też dobre ćwiczenie): Niech G będzie zbiorem rezidualnym w C. Wtedy zbiór {P $\in$ Perf : P $\subset$ G} jest rezidualny w K(C).

Innymi słowy, jeżeli ustalimy duży (w sensie kategorii) zbiór G w C, to prawie każdy (w sensie kategorii w K(C)) zbiór doskonały jest w nim zawarty.

Pytanie co będzie, jeżeli zamienimy ideał kategorii na ideał miary. Otóż będzie zupełnie inaczej. Mianowicie zbiór zbiorów doskonałych zawartych w dowolnym zbiorze miary pełnej w C nie może być miary pełnej dla żadnej ładnej miary na K(C).

Fakt 2. (M.K.) Niech $\lambda$ oznacza miarę produktową w C. Nie istnieje borelowska, probabilistyczna miara $\mu$ w K(C) znikająca na punktach, taka że dla dowolnego zbioru H takiego, że $\lambda$(H) = 1, zbiór

{P $\in$ Perf : P $\subset$ H}

jest miary $\mu$ pełnej.

Tak więc mamy twierdzenie, że żadna "ładna" miara na K(C) nie ma pewnej własności. Ładnych miar na K(C) istnieje cała masa. Ale czy ktokolwiek widział choć jedną?

* * *

Myśl przewodnia podanej identyczności jest taka, że K(C) jest sumą trzech kopii K(C).

Można myśleć o przypisaniu (planowanej dopiero) miary tym trzem częściom. Oczywiście dwie z nich miałyby tę samą miarę. Poza tym ten detal zostawiamy na potem, żeby to uczynić albo elegancko (na ile możliwe), albo dowolnie (mieć miary m_t dla 0 < t < 1). Następnie można myśleć o iterowaniu konstrukcji. W ten sposób zdrabnialibyśmy podział, aż doszlibyśmy do miary. Pierwszy podział był na 3 części, następny na 3 + 3 + 3x3 = 15, itd.

Widać, że K(C) (bez zbioru pustego!) lepiej interpretować jako swojego rodzaju przestrzeń rzutową, a nie kub czyli przestrzeń afiniczną. Nie należy więc spodziewać się kanonicznej odpowiedniości pomiędzy C (kub!), a K(C).

* * *

W zasadzie K(C) można bardzo naturalnie podzielić na te P które są zawarte w {0}×C i te które nie są. Oba te zbiory są otwarto-domknięte. Pierwszy z nich jest w oczywisty i naturalny sposób homeomorficzny z K(C), zatem i jego można podzielić, itd. Gorzej z drugim - on też jest homeomorficzny z K(C), ale nie w tak naturalny sposób.

Robiąc takie podziały myślimy pewnie, że będziemy definiować miarę zadając miarę na poszczególnych zbiorach z tego podziału. Pytanie tylko na jakim sigma-ciele określimy tę miarę. Jeżeli nie zadbamy o to, żeby zbiory z podziału tworzyły bazę topologii K(C), to nie jest chyba jasne czy zdefiniujemy miarę borelowską (bądź czy da się ją rozszerzyć).

* * *

Niech (Xd ) będzie przestrzenią metryczną, zwartą. Niech (P_n : n $\in$ N) będzie ciągiem skończonych pokryć otwartych, o mesh $\rightarrow$ 0 dla n $\rightarrow$ $\infty$ (mesh? Chodzi o

mesh_n : = max(diam(G : G $$\in$$ P_N)

czyli maksimum średnicy elementu pokrycia; zakładamy mesh_n $\rightarrow$ 0). Wtedy dla każdego n i każdego P zawartego w P_n dostajemy podzbiór otwarty G_P przestrzeni K(X, d ), zdefiniowany następująco:

G_P : = {F $$\in$$ K(X) : F $$\subset$$ $$\bigcup$$(P) $$\wedge$$ $$\forall$$(G $$\in$$ P)G $$\cap$$ F $$\neq$$ $$\emptyset$$

B_n : = {G_P : P $$\subset$$ P_n}

B : = $$\bigcup$${B_n : n $$\in$$ N}

Oczywiście, zgodnie z definicją topologii Vietorisa czy metryki Hausdorffa, B jest bazą topologiczną w przestrzeni K(Xd ).

* * *

Rozpatrzmy przypadek X : = C : = {0, 1}^N, z topologią produktu tichonowskiego.

Niech

P_n : = {pr_n^-1(x) : x $$\in$$ {0, 1}ⁿ}

gdzie

r_n : C - - > {0, 1}^{{1,..., n}}

jest rzutem kanonicznym. Jak w przypadku ogólnym, dostajemy bazę topologiczną B przestrzeni K(C), tym razem złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych. Mamy przy tym, jak przedtem, B : = $\bigcup$(B_n : n $\in$ N), ale dodatkowo wiemy, że każde B_n ma 2²ⁿ - 1 elementów. Być może coś z tego uda się sklecić...

Włodzimierz Holsztyński, Marcin Kysiak, marzec 2004.

Linki do oryginalnej dyskusji: [1], [2]