Co jest większe: e^$\pi$ czy $\pi^{e}_{}$?

W odróżnieniu od typowych zadań "na" procenty i układy równań z dwoma niewiadomymi, tu mamy ładne zadanie, którego treść mieści się w jednej linijce.

W zadaniach, w których coś się zmienia, warto przyjrzeć się temu, co się nie zmienia. W tym wypadku zmieniają się podstawy i wykładniki. Sprowadzimy zagadnienie porównania wartości dwóch różnych funkcji do porównania wartości jednej funkcji. Jakikolwiek ma być znak zamiast $\star$ między porównywanymi liczbami, kolejne nierówności są równoważne:

e^$\pi$$$\star$$$$\pi^{e}_{}$$

ln e^$\pi$$$\star$$ln$$\pi^{e}_{}$$

$$\pi$$ ^. ln e$$\star$$e ^. ln$$\pi$$

$${\frac{{\pi}}{{\ln \pi}}}$$$$\star$$$${\frac{{e}}{{\ln e}}}$$

Trzeba więc porównać dwie wartości jednej funkcji

f (x) = $${\frac{{x}}{{\ln x}}}$$

więc wystarczy zbadać jej zmienność na prawo od 1. Pochodna tej funkcji

f'(x) = $${\frac{{\ln x - 1}}{{(\ln x)^2}}}$$

ma wartości ujemne dla ln x < 1 i ma wartości dodatnie dla ln x > 1, czyli x = e jest jej minimum w przedziale x > 1. W takim razie f ($\pi$) > f (e) i e^$\pi$ > $\pi^{e}_{}$.