Związki między kombinacjami, permutacjami i wariacjami

Ograniczymy się do kilku popularnych przykładów:

1. Pemutacja zbioru {1, 2,..., n} jest n-wyrazową wariacją bez powtórzeń n elementów i
   | S_n| = n! = $$\binom{n}{n}$$n! = V_nⁿ

2. k-wyrazowa wariacja n-elementów wyznacza kombinację n elementów po k - wystarczy zapomnieć o kolejności elementów, czyli przyporządkować funkcji różnowartościowej f : 1, 2,..., k $\rightarrow$ {1, 2,..., n} jej obraz (zbiór wartości). Wariacje bez powtórzeń wyznaczające tę samą kombinację różnią się kolejnością wyrazów, więc jedna kombinacja daje k! wariacji. Zatem
   V_n^k = $$\binom{n}{k}$$k! = C_n^kk!

3. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X oznaczamy 2^X i nazywamy zbiorem potęgowym zbioru X. Jeśli zbiór X ma n elementów, | X| = n, to liczbę jego podzbiorów | 2^X| można obliczyć tak:
   | 2^X| = $$\binom{n}{0}$$ + $$\binom{n}{1}$$ +...+ $$\binom{n}{n}$$ = (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ = 2^{| X|}
   Jeśli X = {1, 2,..., n}, to można też każdemu podzbiorowi Y zbioru X przyporządkować wzajemnie jednoznacznie n wyrazową wariację z powtórzeniami dwóch elementów (0 i 1), zwaną funkcją charakterystyczną tego podzbioru:
   f_Y(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ gdy} x \in Y 0 & \mbox{ gdy} x \notin Y \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ gdy} x \in Y 0 & \mbox{ gdy} x \notin Y \end{array}$$
   Zatem
   | 2^X| = W_n² = 2ⁿ = 2^{| X|}.
   Wzór
   | 2^X| = 2^{| X|}
   jest (z definicji) prawdziwy dla dowolnego zbioru X.