\documentclass[a4paper,titlepage, man, wnst, oneside]{dyplomus}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{blindtext}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat = 1.17, width = 10cm}
\usepackage{graphicx}

\newcounter{aaa} % dodatkowe liczniki 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                               %
%    Ustawienia otoczeń dla     %
%    twierdzeń, lematów,        %
%    definicji, uwag, itp       %
%                               %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{twierdzenie}{Twierdzenie}[chapter]
\newtheorem{lemat}[twierdzenie]{Lemat}
\newtheorem{wniosek}{Wniosek}[twierdzenie]

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[twierdzenie]{Definicja}
\newtheorem{przyklad}[twierdzenie]{Przykład}
\newtheorem{dowod}{Dowód}
\newtheorem{uwaga}[twierdzenie]{Uwaga}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                               %
%     Tytularia dokumentu       %
%                               %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\autor{Zeflik Gżegżółka} % wstaw imie i nazwisko autora
\nralbumu{3.14159} % wstaw numer albumu
\tytul{Jak pisać prace dyplomowe: przykłady i~kontrprzykłady} % wstaw tytul rozprawy
\promotor{dr Felix Omnisapiens} % wstaw tytul, imie i nazwisko promotora 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                               %
%      Początek  dokumentu      %
%                               %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\maketitle % tworzy strone tytulowa
\tableofcontents % tworzy spis tresci
\setcounter{chapter}{0} % ustawia początek numeracji rozdziałów; wartość n oznacza numerację od n+1

\chapter*{Wstęp} % gwiazdka przy komendzie podziału tekstu (\chapter, \section, \subsection, itp.) sprawia, że sekcja ta nie jest numerowana, ale jest dodana do spisu treści

Zasadniczo wszyscy studenci kierunku matematyka zapoznają się z systemem \LaTeX{} już na początku
studiów. Problemy zaczynają się dwa lata później, kiedy następuje czas wykorzystania wiedzy 
otrzymanej na kursie elementów informatyki. Kto by pomyślał wcześniej, że wiedza ta okaże się 
kiedyś tak niezbędna. \par 
Dokument, który Państwo mają przed sobą, nie ma na celu przypomnienia podstawowych 
wiadomości dotyczących \LaTeX'a, a~raczej pokazanie przykładu wykorzystania tego systemu 
do przygotowania i~poprawnego złożenia przede wszystkim prac dyplomowych\footnote{Może być 
również wykorzystany do pisania prac semestralnych, co bardzo polecam!}. Nie ma w~nim też 
rzadnych wskazówek dotyczących merytorycznej zawartości takowej dysertacji.


\chapter{Struktura i podział tekstu}

Zacznijmy od kilku prostych twierdzeń, 
 
\begin{definition}
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję P określoną wzorem $P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ przy czym $n\in\mathbb{N}\cup \{0\}, a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ oraz $a_n \neq 0$
\end{definition}
 
\begin{definition}
Wielomian P spełniającym równość $P\left(x\right)=0$ dla każdego $x\in\mathbb{R},$ nazywamy wielomianem zerowym. Piszemy wówczas $P\left(x\right)\equiv 0$
\end{definition}
 
\begin{twierdzenie}[Twierdzenie Bezout'a o reszcie]
Jeżeli wielomian $P\left(x\right)$ jest jest równy zeru przy $x = a$ 
to wielomian ten jest podzielny przez $x - a$.
\end{twierdzenie}

\begin{uwaga}
Dwie niezerowe liczby zespolone są równe jeżeli mają równe moduły i argumenty główne ( ich argumenty mogą się natomiast różnić o całkowitą wielokrotność $2\pi)$. Liczba $0$ jest jedyną liczbą zespoloną jednoznacznie określoną przez jej moduł.
\end{uwaga}
 
\begin{wniosek}
Wychodząc od postaci trygonometrycznej liczby zespolonej
 $$z = |z|\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)$$
 oraz uwzględniając wzór
 $$e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$$
 otrzymujemy postać wykładniczą liczby zespolonej
 $$z = re^{i\alpha}$$
 \end{wniosek}

 \begin{definition}
 Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci $$z = re^{i\alpha}$$
 \end{definition}
 
\begin{lemat}[Własności sprzężenia oraz modułu liczb zespolonych]
Niech $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$
 \begin{enumerate}
 \item $z + \overline{z} = 2Rez,$
 \item $z - \overline{z} = 2Imz,$
 \item $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2},$
 \item $\left( \overline{\frac{z_1}{z_2}} \right) = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},$
 \item $z \cdot \overline{z} = |z|^2,$
 \item $|z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2|,$
 \item $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|},$
 \item $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
 \end{enumerate}
\end{lemat}
 
\begin{twierdzenie}[Liouville'a]
Funkcja całkowita (tzn. analityczna i ograniczona) $f$ jest stała.
\end{twierdzenie}
\begin{dowod}
 Załóżmy nie wprost, że $\forall_{z \in \mathbb{C}} P\left(z\right) \neq 0$, $f\left(z\right) = \frac{1}{P\left(z\right)} f\left(z\right)$ - jest funkcją analityczną i ograniczoną, Zatem z twierdzenia Liouville'a funkcja $f\left(z\right)$ jest stała. 
\end{dowod}
 Pełny dowód tego twierdzenia jest w \cite[Tw.3.13, str.123]{b3}.

 
\chapter{Zasadnicze Twierdzenie Algebry}
% Nowy rozdział numerowany oznacza zresetowanie wszystkich podległych mu liczników; numeracja twierdzeń zaczyna się więc od początku 
 \begin{twierdzenie}[Zasadnicze Twierdzenie Algebry]
 Jeśli $P\left(z\right)$ jest wielomianem nad ciałem $\mathbb{C}$
 i $deg\left(P\right) \geq 1$. Wtedy istnieje $z_0 \in \mathbb{C}$ takie, że $P\left(z_0\right) = 0.$
 \end{twierdzenie}
 
\chapter*{Dictum sit ,,Lorem ipsum''}
% w tym przypadku numeracja twierdzeń nie zostaje przerwana i kontynuuje numerację z poprzedniego rozdziału

\begin{twierdzenie}[Lorem ipsum]
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. \end{twierdzenie}
 
 \begin{proof}
 Vitae tortor condimentum lacinia quis. In arcu cursus euismod quis viverra. Odio eu feugiat pretium nibh ipsum consequat nisl vel. Porttitor rhoncus dolor purus non enim praesent elementum. Amet facilisis magna etiam tempor orci eu. Dictum sit amet justo donec. Vel risus commodo viverra maecenas accumsan lacus vel facilisis volutpat. Nullam vehicula ipsum a arcu. Interdum velit laoreet id donec ultrices tincidunt arcu. Sed ullamcorper morbi tincidunt ornare massa eget. Vitae justo eget magna fermentum. 
  
 Habitant morbi tristique senectus et netus et. Orci porta non pulvinar neque. Eget est lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit. Massa vitae tortor condimentum lacinia quis vel. Scelerisque eleifend donec pretium vulputate sapien nec sagittis. Netus et malesuada fames ac. Id diam maecenas ultricies mi eget mauris pharetra et ultrices. Tincidunt dui ut ornare lectus sit amet est placerat. Consectetur a erat nam at lectus urna duis. Praesent elementum facilisis leo vel fringilla est ullamcorper eget nulla. Facilisis gravida neque convallis a cras semper auctor. Consequat ac felis donec et odio pellentesque diam volutpat commodo. Sed enim ut sem viverra aliquet. Non enim praesent elementum facilisis leo vel. Nunc non blandit massa enim nec dui nunc mattis. Felis eget velit aliquet sagittis id consectetur. Congue mauris rhoncus aenean vel elit scelerisque mauris. Aliquet risus feugiat in ante.
 \end{proof}

\begin{wniosek}
Congue mauris rhoncus aenean vel elit scelerisque mauris. 
\begin{enumerate}[{P}.i]
\item Pellentesque sit amet porttitor eget dolor morbi non. Tincidunt praesent semper feugiat nibh sed. 
\item Pellentesque nec nam aliquam sem et tortor. Eget arcu dictum varius duis. Lectus vestibulum mattis ullamcorper velit sed ullamcorper morbi.
\item Pellentesque sem integer vitae justo eget magna fermentum iaculis eu non. Congue quisque egestas diam in arcu. Ac turpis egestas sed tempus. 
\item Et malesuada fames ac turpis egestas sed. Cras sed felis eget velit aliquet sagittis. Diam donec adipiscing tristique risus nec feugiat in fermentum posuere.
\end{enumerate}
\end{wniosek}

Urna duis convallis convallis tellus id interdum. Turpis egestas maecenas pharetra convallis posuere morbi. Nibh sit amet commodo nulla. Leo duis ut diam quam nulla porttitor massa id neque. Lacus laoreet non curabitur gravida arcu ac tortor dignissim convallis. Pellentesque massa placerat duis ultricies lacus sed turpis tincidunt. Odio facilisis mauris sit amet massa vitae tortor condimentum. At tempor commodo ullamcorper a lacus vestibulum. Diam ut venenatis tellus in metus vulputate eu scelerisque. Iaculis urna id volutpat lacus laoreet non curabitur gravida arcu. Iaculis urna id volutpat lacus laoreet. Volutpat lacus laoreet non curabitur gravida arcu ac. Mauris augue neque gravida in fermentum et sollicitudin ac orci. Pellentesque id nibh tortor id aliquet. Tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Tristique et egestas quis ipsum suspendisse ultrices gravida. Risus nullam eget felis eget nunc lobortis. Sed odio morbi quis commodo odio aenean sed. Pharetra et ultrices neque ornare aenean euismod elementum. Elit ullamcorper dignissim cras tincidunt lobortis feugiat.

Ut porttitor leo a diam sollicitudin tempor id eu. Id donec ultrices tincidunt arcu non sodales neque. Ac tortor dignissim convallis aenean et. Ultrices sagittis orci a scelerisque purus semper. Sed adipiscing diam donec adipiscing tristique risus nec feugiat. Morbi tristique senectus et netus et. Enim nunc faucibus a pellentesque sit amet porttitor. Ipsum nunc aliquet bibendum enim facilisis gravida neque. Tincidunt augue interdum velit euismod in pellentesque. Elementum integer enim neque volutpat ac tincidunt vitae semper. Dolor magna eget est lorem ipsum dolor sit. Varius duis at consectetur lorem donec massa sapien. Parturient montes nascetur ridiculus mus mauris vitae. Molestie ac feugiat sed lectus.
 
  
 \begin{align*}
 P(x) = & (x-z_0)Q(x) = (x-z_0)(x - \overline{z_0})R(x) \\
 = & (x^2 - 2\Re{z_0} \ + |z_0|)R(x).
 \end{align*}
 
Commodo quis imperdiet massa tincidunt nunc pulvinar sapien. Risus pretium quam vulputate dignissim suspendisse in est ante in. Molestie a iaculis at erat pellentesque adipiscing commodo. Purus viverra accumsan in nisl. Ac ut consequat semper viverra. Suspendisse ultrices gravida dictum fusce ut placerat orci. Donec ac odio tempor orci dapibus. Nam aliquam sem et tortor consequat id. Morbi tempus iaculis urna id volutpat lacus. Massa tincidunt nunc pulvinar sapien et ligula ullamcorper malesuada proin.


 
\chapter{Przykłady}
 \section*{Przykład 1} 
 \begin{equation}
 P_1\left(x\right) = x^4 +1 \label{przyklad1}
 \end{equation}
 \begin{figure}[h]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
 \begin{axis}[ymin = -5, ymax = 20, axis lines = left, xlabel = $x$, ylabel = $y$]
 \addplot[color = black, samples = 100]{x^4 + 1};
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
 \caption{Wykres funkcji $P_1\left(x\right) = x^4 +1$}
 \end{figure}

 Wielomian $P_1(x)$ przyjmuje postać $x^2 + 1$ i wydaje się być dwumianem, który na pierwszy rzut oka nie jest rozkładalny. Jednakże, ważnym jest zauważenie, że wielomian $P_1(x)$ jest stopnia 4. Zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wielomianu, każdy ma swój rozkład na iloczyn wielomianów co najwyżej stopnia 2.
 Ten przykład możemy rozwiązać na trzy sposoby.
 \subsection*{Rozkład na różnicę kwadratów} 
 Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, możemy rozłożyć wyrażenie $x^4 + 1$ w następujący sposób:
 \begin{align*}
 x^4 + 1 &= (x^2 + 1)^2 - 2x^2.
 \end{align*}
 Następnie, dokonując podstawienia $a = x^2 + 1$ i $b = \sqrt{2}x$, otrzymujemy:
 \begin{align*}
 (x^2 + 1)^2 - 2x^2 &= (x^2 + 1 - \sqrt{2}x)(x^2 + 1 + \sqrt{2}x) \\
 &= (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1).
 \end{align*}
 \subsection*{Układ równań}
 Rozważmy rozkład równania \eqref{przyklad1} w postaci układu równań, gdzie $a$, $b$, $c$, i $d$ są liczbami rzeczywistymi i $b$ oraz $d$ są różne od zera:
 \begin{equation}\label{uklad1}
 x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
 \end{equation}
 Porównując współczynniki, otrzymujemy układ równań:
 \begin{align*}
 x^4 + 1 &= x^4 + x^3(a + c) + x^2(b + d + ac) + x(ad + bc) + bd, 
 \end{align*}
 \[
 \begin{cases}
 a + c = 0, \\
 b + d + ac = 0, \\
 ad + bc = 0, \\
 bd = 1.
 \end{cases}
 \] 
 Odejmując $c$ od obu stron pierwszego równania i podstawiając $a = -c$ do pozostałych równań, otrzymujemy:
 \[
 \begin{cases}
 a = -c, \\
 b + d - c^2 = 0, \\
 -cd + bc = 0, \\
 bd = 1.
 \end{cases}
 \]
 Z równości $c = 0$ wynika sprzeczność, ponieważ wtedy $c(b - d) = 0$, co prowadzi do $b + d = 0$, a to z kolei oznaczałoby $b = -d$. Jednak z czwartego równania wynikałoby $-b^2 = 1$, co jest sprzecznością. Dlatego z trzeciego równania wynika, że $c \neq 0$, co z kolei oznacza $b = d$. Z ostatniego równania otrzymujemy $b^2 = 1$, więc $b = 1$ lub $b = -1$. Z drugiego równania otrzymujemy $2b = c^2 \geq 0$, więc $b = d = 1$. Wynika stąd $c^2 = a^2 = 0$, co oznacza, że $a = -c$. Wstawiając te rozwiązania do równania \eqref{uklad1}, otrzymujemy:
 \[
 x^4 + 1 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1).
 \]
 \subsection*{Wykorzystanie liczb zespolonych}
 Pokażemy przykładowo, jak również można rozwiązać to zadanie, znając liczby zespolone. Równanie $x^4 +1 = 0$ przekształcamy do $x^4 = -1$. Liczba $-1$ w postaci wykładniczej jest równa:\[
 -1 = e^{i\pi} = e^{i\pi + 2\pi} = e^{i\pi + k\pi} = \dots,
 \]
 gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania:
 \[
 x_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}, \quad x_2 = e^{i\frac{3\pi}{4}}, \quad x_3 = e^{i\frac{5\pi}{4}}, \quad x_4 = e^{i\frac{7\pi}{4}}.
 \]
 Korzystając z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych, możemy zapisać te rozwiązania jako:
 \[
 x_1 = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}},
 \]
 \[
 x_2 = \cos{\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}} = \frac{-1 - i}{\sqrt{2}},
 \]
 \[
 x_3 = \cos{\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin{\left(\frac{5\pi}{4}\right)}} = -\frac{1 + i}{\sqrt{2}},
 \]
 \[
 x_4 = \cos{\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin{\left(\frac{7\pi}{4}\right)}} = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}.
 \]
 Podstawiając te wyniki do równania \eqref{przyklad1}, otrzymujemy:
 \[
 P_1(x)\left(x - \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)\left(x + \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)\left(x - \frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)\left(x + \frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)
 \]
 \[
 = \left(x - \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)\left(x - \frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)\left(x + \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)\left(x + \frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right).
 \]
 Korzystając z własności $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ oraz $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, otrzymujemy identyczny rozkład jak powyżej:
 \[
 P_1(x) = \left(x^4 - 1\right) = \left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right).\Box
 \]
 \newpage
 \section*{Przykład 2}
 
 \begin{equation}
 P_2(x) = x^4 + x^2 + 1 \label{przyklad2}
 \end{equation}
 
 \begin{figure}[h]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
 \begin{axis}[ymin = -5, ymax = 20, axis lines = middle, xlabel = $x$, ylabel = $y$]
 \addplot[color = black, samples = 100]{x^4 + x^2 + 1};
 \end{axis}
 \end{tikzpicture}
 \caption{Wykres funkcji $P_2(x) = x^4 + x^2 + 1$}
 \end{figure}
 
 \subsection*{Rozkład na różnicę kwadratów}
 Pierwszy sposób rozwiązania będzie podobny do poprzedniego podejścia. Przekształcamy równanie, aby otrzymać wzór na różnicę kwadratów:
 \begin{align*}
 x^4 + x^2 + 1 &= \left(x^4 + 2x^2 + 1\right) - x^2 \\
 &= \left(x^2 + 1\right)^2 - x^2.
 \end{align*}
 Podstawiając teraz $a = \left(x^2 + 1\right)$ oraz $b = x$, otrzymujemy:
 \[
 (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x).
 \]
 \subsection*{Układ równań} 
 Rozważmy rozkład równania \eqref{przyklad2} w postaci układu równań, gdzie $a$, $b$, $c$, i $d$ są liczbami rzeczywistymi i $b$ oraz $d$ są różne od zera:
 \begin{equation}\label{uklad1}
 x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
 \end{equation}
 Porównując współczynniki, otrzymujemy układ równań:
 \[
 \begin{cases}
 a = -c, \\
 b + d - c^2 = 1, \\
 c(b - d) = 0, \\
 bd = 1.
 \end{cases}
 \]
 
 Równość $c = 0$ prowadzi do sprzeczności, ponieważ podobnie uzyskujemy:
 \[
 \begin{cases}
 b + d = 1, \\
 bd = 1.
 \end{cases}
 \]
 
 Z drugiego równania mamy $b = \frac{1}{d}$, co następnie daje równość:
 \[
 \frac{1}{d} + d = 1,
 \]
 czyli
 \[
 1 + d^2 = d,
 \]
 stąd
 \[
 d^2 - d + 1 = 0.
 \]
 
 Wyróżnik kwadratowy tego trójmianu to:
 \[
 \Delta = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3,
 \]
 więc nie ma takiego $d \in \mathbb{R}$.
 
 Dla $c \neq 0$ z trzeciego równania mamy $b = d$. Czwarte równanie daje nam $b^2 = 1$, czyli $b = 1 \cup b = -1$, a z drugiego równania wynika, że $b + d$ musi być większe bądź równe 1, gdyż $b + d - 1 = c^2$, a kwadrat jest zawsze nieujemny. Więc $b = d = 1$, oraz $c = -1 = -a$. Wstawiając teraz wszystko do równania otrzymujemy:
 \[
 P_2(x) = (x^4+x^2+1) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1).
 \]
 
 \subsection*{Rozkład wielomianu za pomocą liczb zespolonych}
 
 Rozłożymy również ten wielomian korzystając z liczb zespolonych. Równanie $x^4 + x^2 + 1 = 0$ przekształcamy podstawiając $y = x^2$ i otrzymujemy $y^2 + y + 1 = 0$. Wyróżnik tego trójmianu to:
 \[
 \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3,
 \]
 czyli
 \[
 \sqrt{\Delta} = i\sqrt{3}.
 \]
 
 Otrzymujemy stąd cztery rozwiązania:
 \[
 y_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},
 \]
 \[
 x_1 = \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}, \quad x_2 = -\sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}},
 \]
 \[
 x_3 = \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}, \quad x_4 = -\sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}.
 \]
 
 Zatem:
 \[
 P_2(x) = (x - \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}})(x + \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}})(x - \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}})(x + -\sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}).
 \]

 
 \chapter*{Zakończenie}
 To coś na zakończenie. I nie zapomnieć o podziękowaniach dla promotora! 
 
\begin{thebibliography}{10} % parametr 10 mówi o NAJDŁUŻSZYM indeksie
\bibitem{b1} {A.~Białas, \textit{O podzielności liczb}, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa, 1960}
\bibitem{b2} {M.~Czarnecki, \textit{Elementy klasycznej geometrii euklidesowej}, Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego, [dostęp 14.06.2023]\newline \verb+https://en.math.uni.lodz.pl/~maczar/lectures/gke_el.pdf+}
\bibitem{b3} {J.~Gancarzewicz, \textit{Algebra liniowa z elementami geometrii}, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Wydanie IV, Kraków, 2001}
\bibitem{b4} {W.~Krysicki, L.~Włodarski, \textit{Analiza matematyczna w zadaniach}, tom 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2020} 
\bibitem{b5} {M.~Żynel, \textit{Geometria elementarna}, Materiały do wykładu, Uniwersytet w Białymstoku, Białystok, 2021, [dostęp: 14.06.2023] \verb+https://math.uwb.edu.pl/~mariusz/+}
\end{thebibliography}
\end{document}

